Théorème de la valeur moyenne - Mean value theorem
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En mathématiques , le théorème de la valeur moyenne stipule, grosso modo, que pour un arc planaire donné entre deux extrémités, il existe au moins un point auquel la tangente à l'arc est parallèle à la sécante passant par ses extrémités. C'est l'un des résultats les plus importants de l'analyse réelle . Ce théorème est utilisé pour prouver des déclarations sur une fonction sur un intervalle à partir d'hypothèses locales sur les dérivées aux points de l'intervalle.
Plus précisément, le théorème que si est une fonction continue sur l' intervalle fermé et dérivable sur l' intervalle ouvert , il existe un point de telle sorte que la tangente en parallèle à la ligne sécante passant par les points d' extrémité et qui est,
Histoire
Un cas particulier de ce théorème a été décrit pour la première fois par Parameshvara (1370-1460), de la Kerala School of Astronomy and Mathematics in India , dans ses commentaires sur Govindasvāmi et Bhāskara II . Une forme restreinte du théorème a été prouvée par Michel Rolle en 1691 ; le résultat était ce qu'on appelle maintenant le théorème de Rolle , et n'a été prouvé que pour les polynômes, sans les techniques de calcul. Le théorème de la valeur moyenne dans sa forme moderne a été énoncé et prouvé par Augustin Louis Cauchy en 1823. De nombreuses variantes de ce théorème ont été prouvées depuis lors.
Déclaration formelle
Soit une fonction continue sur l' intervalle fermé , et dérivable sur l'intervalle ouvert , où . Alors il en existe en tel que
Le théorème de la valeur moyenne est une généralisation du théorème de Rolle , qui suppose , de sorte que le membre de droite ci-dessus est zéro.
Le théorème de la valeur moyenne est toujours valable dans un cadre un peu plus général. Il suffit de supposer que est continu sur , et que pour tout à la limite
existe sous forme de nombre fini ou est égal à ou . Si finie, cette limite est égale à . Un exemple où cette version du théorème s'applique est donné par le mappage de la fonction racine cubique à valeur réelle , dont la dérivée tend vers l'infini à l'origine.
Notez que le théorème, comme indiqué, est faux si une fonction différentiable est à valeur complexe au lieu de valeur réelle. Par exemple, définissez pour tout réel . Puis
tandis que pour tout réel .
Ces déclarations formelles sont également connues sous le nom de théorème de la valeur moyenne de Lagrange.
Preuve
L'expression donne la pente de la droite joignant les points et , qui est une corde du graphique de , tandis que donne la pente de la tangente à la courbe au point . Ainsi, le théorème de la valeur moyenne dit que, étant donné toute corde d'une courbe lisse, nous pouvons trouver un point sur la courbe situé entre les extrémités de la corde de telle sorte que la tangente de la courbe en ce point soit parallèle à la corde. La preuve suivante illustre cette idée.
Définir , où est une constante. Comme est continu sur et dérivable sur , il en est de même pour . On veut maintenant choisir de telle sorte que satisfasse aux conditions du théorème de Rolle . À savoir
Par le théorème de Rolle , puisque est dérivable et , il y en a dans pour qui , et il résulte de l'égalité que,
Implications
Théorème 1 : Supposons que f est une fonction continue à valeur réelle, définie sur un intervalle arbitraire I de la droite réelle. Si la dérivée de f en chaque point intérieur de l'intervalle I existe et est nulle, alors f est constant à l'intérieur.
Preuve : Supposons que la dérivée de f en chaque point intérieur de l'intervalle I existe et soit nulle. Soit ( a , b ) un intervalle ouvert arbitraire dans I . Par le théorème de la valeur moyenne, il existe un point c dans ( a , b ) tel que
Cela implique que f ( a ) = f ( b ) . Ainsi, f est constant à l'intérieur de I et est donc constant sur I par continuité. (Voir ci-dessous pour une version multivariable de ce résultat.)
Remarques:
- Seule la continuité de f , pas la différentiabilité, est nécessaire aux extrémités de l'intervalle I . Aucune hypothèse de continuité n'a besoin d'être énoncée si I est un intervalle ouvert , puisque l'existence d'une dérivée en un point implique la continuité en ce point. (Voir la section continuité et différentiabilité de l'article dérivé .)
- La différentiabilité de f peut être assouplie à la différentiabilité unilatérale , une preuve donnée dans l'article sur la semi-différentiabilité .
Théorème 2 : Si f' ( x ) = g' ( x ) pour tout x dans un intervalle ( a , b ) du domaine de ces fonctions, alors f - g est constant ou f = g + c où c est une constante sur ( a , b ).
Preuve : Soit F = f − g , alors F' = f' − g' = 0 sur l'intervalle ( a , b ), donc le théorème 1 ci-dessus dit que F = f − g est une constante c ou f = g + c .
Théorème 3 : Si F est une primitive de f sur un intervalle I , alors la primitive la plus générale de f sur I est F(x) + c où c est une constante.
Preuve : Elle est directement dérivée du théorème ci-dessus 2.
Théorème de la valeur moyenne de Cauchy
Le théorème de la valeur moyenne de Cauchy , également connu sous le nom de théorème de la valeur moyenne étendu , est une généralisation du théorème de la valeur moyenne. Il énonce : si les fonctions et sont à la fois continues sur l'intervalle fermé et dérivables sur l'intervalle ouvert , alors il en existe , telles que
Bien sûr, si et , cela équivaut à :
Géométriquement, cela signifie qu'il y a une tangente au graphique de la courbe
qui est parallèle à la ligne définie par les points et . Cependant, le théorème de Cauchy ne prétend pas l'existence d'une telle tangente dans tous les cas où et sont des points distincts, puisqu'elle ne pourrait être satisfaite que pour une valeur avec , c'est-à-dire une valeur pour laquelle la courbe mentionnée est stationnaire ; en de tels points, aucune tangente à la courbe n'est susceptible d'être définie du tout. Un exemple de cette situation est la courbe donnée par
qui sur l'intervalle va du point à , mais n'a jamais de tangente horizontale ; cependant il a un point stationnaire (en fait une cuspide ) à .
Le théorème de la valeur moyenne de Cauchy peut être utilisé pour prouver la règle de L'Hôpital . Le théorème de la valeur moyenne est le cas particulier du théorème de la valeur moyenne de Cauchy lorsque .
Preuve du théorème de la valeur moyenne de Cauchy
La preuve du théorème de la valeur moyenne de Cauchy est basée sur la même idée que la preuve du théorème de la valeur moyenne.
-
Supposons . Définir , où est fixé de telle sorte que , à savoir
- Si , alors, en appliquant le théorème de Rolle à , il s'ensuit qu'il existe dans pour qui . En utilisant ce choix de , le théorème de la valeur moyenne de Cauchy est (trivialement) vrai.
Généralisation pour les déterminants
Supposons que et sont des fonctions dérivables sur qui sont continues sur . Définir
Il existe tel que .
Remarquerez que
et si on place , on obtient le théorème de la valeur moyenne de Cauchy. Si nous plaçons et nous obtenons le théorème de la valeur moyenne de Lagrange .
La preuve de la généralisation est assez simple : chacun de et sont des déterminants avec deux lignes identiques, d'où . Le théorème de Rolle implique qu'il existe tel que .
Théorème de la valeur moyenne en plusieurs variables
Le théorème de la valeur moyenne se généralise aux fonctions réelles de plusieurs variables. L'astuce consiste à utiliser la paramétrisation pour créer une fonction réelle d'une variable, puis à appliquer le théorème à une variable.
Soit un sous-ensemble ouvert convexe de , et soit une fonction différentiable. Fixez des points , et définissez . Puisque est une fonction différentiable dans une variable, le théorème de la valeur moyenne donne :
pour certains entre 0 et 1. Mais puisque et , en calculant explicitement nous avons :
où désigne un gradient et un produit scalaire . Notez qu'il s'agit d'un analogue exact du théorème dans une variable (dans le cas où il s'agit du théorème dans une variable). Par l' inégalité de Cauchy-Schwarz , l'équation donne l'estimation :
En particulier, lorsque les dérivées partielles de sont bornées, est Lipschitz continu (et donc uniformément continu ).
En application de ce qui précède, nous prouvons qu'il est constant si est ouvert et connexe et que chaque dérivée partielle de est 0. Choisissez un point , et laissez . Nous voulons montrer pour tout le monde . Pour cela, laissez . Alors E est fermé et non vide. Il est ouvert aussi : pour chaque ,
pour chaque dans un quartier de . (Ici, il est crucial que et soient suffisamment proches les uns des autres.) Puisque est connecté, nous concluons .
Les arguments ci-dessus sont avancés sans coordonnées ; par conséquent, ils généralisent au cas où est un sous-ensemble d'un espace de Banach.
Théorème de la valeur moyenne pour les fonctions vectorielles
Il n'y a pas d'analogue exact du théorème de la valeur moyenne pour les fonctions à valeur vectorielle.
Dans Principes d'analyse mathématique, Rudin donne une inégalité qui peut être appliquée à plusieurs des mêmes situations auxquelles le théorème de la valeur moyenne est applicable dans le cas unidimensionnel :
Théorème — Pour une fonction à valeur vectorielle continue dérivable sur , il existe tel que .
Jean Dieudonné dans son traité classique Foundations of Modern Analysis rejette le théorème de la valeur moyenne et le remplace par l'inégalité moyenne car la preuve n'est pas constructive et on ne peut pas trouver la valeur moyenne et dans les applications on n'a besoin que de l'inégalité moyenne. Serge Lang dans Analyse I utilise le théorème de la valeur moyenne, sous forme intégrale, comme réflexe instantané mais cette utilisation nécessite la continuité de la dérivée. Si l'on utilise l' intégrale de Henstock-Kurzweil, on peut avoir le théorème de la valeur moyenne sous forme intégrale sans l'hypothèse supplémentaire que la dérivée doit être continue car chaque dérivée est intégrable de Henstock-Kurzweil. Le problème est grosso modo la suivante: Si f : U → R m est une fonction différentiable (où U ⊂ R n est ouvert) et si x + e , x , h ∈ R n , t ∈ [0, 1] est le segment de droite en question (situé à l'intérieur de U ), alors on peut appliquer la procédure de paramétrage ci-dessus à chacune des fonctions composantes f i ( i = 1, …, m ) de f (dans l'ensemble de notations ci-dessus y = x + h ). Ce faisant, on trouve les points x + t i h sur le segment de droite satisfaisant
Mais généralement il n'y aura pas un seul point x + t * h sur le segment de droite satisfaisant
pour tout i simultanément . Par exemple, définissez :
Alors , mais et ne sont jamais simultanément à zéro lorsque les plages sont supérieures à .
Cependant un certain type de généralisation du théorème de la valeur moyenne aux fonctions vectorielles est obtenu comme suit : Soit f une fonction à valeur réelle continûment dérivable définie sur un intervalle ouvert I , et soit x ainsi que x + h des points de je . Le théorème de la valeur moyenne dans une variable nous dit qu'il existe un certain t * entre 0 et 1 tel que
D'autre part, on a, par le théorème fondamental du calcul suivi d'un changement de variables,
Ainsi, la valeur f′ ( x + t * h ) au point particulier t * a été remplacée par la valeur moyenne
Cette dernière version peut être généralisée aux fonctions vectorielles :
Lemme 1 - Soit U ⊂ R n est ouvert, f : U → R m continûment différentiable, et x ∈ U , h ∈ R n des vecteurs tels que le segment de ligne x + e , 0 ≤ t ≤ 1 reste en U . Ensuite nous avons:
où Df désigne la matrice Jacobienne de f et l'intégrale d'une matrice doit être comprise par composants.
Preuve. Soit f 1 , …, f m les composantes de f et définissons :
Ensuite nous avons
L'affirmation suit puisque Df est la matrice constituée des composants .
Lemme 2 — Soit v : [ a , b ] → R m une fonction continue définie sur l'intervalle [ a , b ] R . Ensuite nous avons
Preuve. Soit u dans R m la valeur de l'intégrale
On a maintenant (en utilisant l' inégalité de Cauchy-Schwarz ):
Maintenant, l'annulation de la norme de u aux deux extrémités nous donne l'inégalité souhaitée.
Inégalité de la valeur moyenne — Si la norme de Df ( x + th ) est limitée par une constante M pour t dans [0, 1] , alors
Preuve. Des lemmes 1 et 2, il résulte que
Théorèmes de la valeur moyenne pour les intégrales définies
Premier théorème de la valeur moyenne pour les intégrales définies
Soit f : [ a , b ] → R une fonction continue. Alors il existe c dans [ a , b ] tel que
Puisque la valeur moyenne de f sur [ a , b ] est définie comme
nous pouvons interpréter la conclusion comme f atteint sa valeur moyenne à un certain c dans ( a , b ).
En général, si f : [ a , b ] → R est continue et g est une fonction intégrable qui ne change pas de signe sur [ a , b ], alors il existe c dans ( a , b ) tel que
Preuve du premier théorème de la valeur moyenne pour les intégrales définies
Supposons f : [ a , b ] → R est continue et g est une fonction intégrable non négative sur [ a , b ]. Par le théorème des valeurs extrêmes , il existe m et M tels que pour chaque x dans [ a , b ], et . Puisque g est non négatif,
Maintenant, laisse
Si , nous avons terminé depuis
veux dire
donc pour tout c dans ( a , b ),
Si je 0, alors
Par le théorème des valeurs intermédiaires , f atteint toutes les valeurs de l'intervalle [ m , M ], donc pour certains c dans [ a , b ]
C'est,
Enfin, si g est négatif sur [ a , b ], alors
et nous obtenons toujours le même résultat que ci-dessus.
CQFD
Deuxième théorème de la valeur moyenne pour les intégrales définies
Il existe divers théorèmes légèrement différents appelés le deuxième théorème de la valeur moyenne pour les intégrales définies . Une version couramment trouvée est la suivante :
- Si G : [ a , b ] → R est une fonction positive monotone décroissante et φ : [ a , b ] → R est une fonction intégrable, alors il existe un nombre x dans ( a , b ] tel que
Ici signifie , dont l'existence découle des conditions. Notez qu'il est essentiel que l'intervalle ( a , b ] contienne b . Une variante n'ayant pas cette exigence est :
- Si G : [ a , b ] → R est une fonction monotone (pas nécessairement décroissante et positive) et φ : [ a , b ] → R est une fonction intégrable, alors il existe un nombre x dans ( a , b ) tel que
Le théorème de la valeur moyenne pour l'intégration échoue pour les fonctions à valeur vectorielle
Si la fonction renvoie un vecteur multidimensionnel, alors le MVT pour l'intégration n'est pas vrai, même si le domaine de est également multidimensionnel.
Par exemple, considérons la fonction bidimensionnelle suivante définie sur un cube -dimensionnel :
Ensuite, par symétrie, il est facile de voir que la valeur moyenne de sur son domaine est (0,0) :
Cependant, il n'y a aucun point dans lequel , car partout.
Un analogue probabiliste du théorème de la valeur moyenne
Soient X et Y des variables aléatoires non négatives telles que E[ X ] < E[ Y ] < et (c'est-à-dire que X est plus petit que Y dans l' ordre stochastique habituel ). Alors il existe une variable aléatoire non négative absolument continue Z ayant une fonction de densité de probabilité
Soit g une fonction mesurable et dérivable telle que E[ g ( X )], E[ g ( Y )] < ∞, et sa dérivée g′ soit mesurable et intégrable de Riemann sur l'intervalle [ x , y ] pour tout y ≥ x ≥ 0. Alors, E[ g′ ( Z )] est fini et
Généralisation en analyse complexe
Comme indiqué ci-dessus, le théorème ne tient pas pour les fonctions à valeurs complexes dérivables. Au lieu de cela, une généralisation du théorème est énoncée telle:
Soit f : Ω → C une fonction holomorphe sur l'ouvert convexe Ω, et soit a et b des points distincts dans Ω. Alors il existe des points u , v sur L ab (le segment de droite de a à b ) tels que
Où Re() est la partie réelle et Im() est la partie imaginaire d'une fonction à valeur complexe.
Voir également
- Méthode Newmark-bêta
- Théorème de la valeur moyenne (différences divisées)
- Principe de l'hippodrome
- Stolarsky signifie
Remarques
Liens externes
- "Théorème de Cauchy" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
- PlanetMath : théorème de la valeur moyenne
- Weisstein, Eric W. "Théorème de la valeur moyenne" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Théorème de la valeur moyenne de Cauchy" . MathWorld .
- "Théorème de la valeur moyenne : l'intuition derrière le théorème de la valeur moyenne" à la Khan Academy