Disquisitiones Arithmeticae -Disquisitiones Arithmeticae

Les Disquisitiones Arithmeticae ( latin pour « Enquêtes arithmétiques ») est un manuel de théorie des nombres écrit en latin par Carl Friedrich Gauss en 1798 lorsque Gauss avait 21 ans et publié pour la première fois en 1801 lorsqu'il avait 24 ans. Il est remarquable pour avoir eu un impact révolutionnaire sur le domaine de la théorie des nombres car il a non seulement rendu le domaine vraiment rigoureux et systématique, mais a également ouvert la voie à la théorie des nombres moderne. Dans ce livre, Gauss a rassemblé et réconcilié les résultats de la théorie des nombres obtenus par des mathématiciens tels que Fermat , Euler , Lagrange et Legendre et a ajouté de nombreux résultats profonds et originaux de son cru.

Portée

Les Disquisitiones couvrent à la fois la théorie élémentaire des nombres et des parties du domaine des mathématiques maintenant appelé théorie algébrique des nombres . Gauss n'a pas explicitement reconnu le concept de groupe , qui est au cœur de l'algèbre moderne , il n'a donc pas utilisé ce terme. Son propre titre pour son sujet était Higher Arithmetic. Dans sa Préface aux Disquisitions , Gauss décrit la portée du livre comme suit :

Les recherches que ce volume examinera se rapportent à cette partie des mathématiques qui s'occupe des nombres entiers.

Gauss écrit également : « Lorsque les lecteurs sont confrontés à de nombreux problèmes difficiles, les dérivations ont été supprimées par souci de concision lorsque les lecteurs se réfèrent à ce travail. » ("Quod, in pluribus quaestionibus difficilibus, démonstrationibus synthétis usus sum, analysinque per quam erutae sunt suppressi, imprimis brevitatis studio tribuendum est, cui quantum fieri poterat consulere oportebat")

Contenu

Le livre est divisé en sept sections :

1. Nombres congruents en général
2. Congruences du premier degré
3. Résidus de pouvoirs
4. Congruences du deuxième degré
5. Formes et équations indéterminées du second degré
6. Diverses applications des discussions précédentes
7. Équations définissant les sections d'un cercle

Ces sections sont subdivisées en 366 éléments numérotés, qui énoncent un théorème avec preuve ou développent une remarque ou une pensée.

Les sections I à III sont essentiellement un examen des résultats précédents, y compris le petit théorème de Fermat , le théorème de Wilson et l'existence de racines primitives . Bien que peu de résultats dans ces sections soient originaux, Gauss a été le premier mathématicien à rassembler ce matériel de manière systématique. Il s'est également rendu compte de l'importance de la propriété de factorisation unique (assurée par le théorème fondamental de l'arithmétique , d'abord étudié par Euclide ), qu'il réaffirme et prouve à l'aide d'outils modernes.

À partir de la section IV, une grande partie de l'œuvre est originale. La section IV développe une preuve de réciprocité quadratique ; La section V, qui occupe plus de la moitié du livre, est une analyse complète des formes quadratiques binaires et ternaires . La section VI comprend deux tests de primalité différents . Enfin, la section VII est une analyse des polynômes cyclotomiques , qui conclut en donnant les critères qui déterminent quels polygones réguliers sont constructibles , c'est-à-dire peuvent être construits avec une seule boussole et une règle non marquée.

Gauss a commencé à écrire une huitième section sur les congruences d'ordre supérieur, mais ne l'a pas terminée, et elle a été publiée séparément après sa mort sous le titre Disquisitiones generales de congruentiis (latin : « Enquêtes générales sur les congruences »). Gauss y discutait des congruences de degré arbitraire, attaquant le problème des congruences générales d'un point de vue étroitement lié à celui adopté plus tard par Dedekind , Galois et Emil Artin . Le traité a ouvert la voie à la théorie des corps de fonctions sur un corps fini de constantes. Les idées uniques à ce traité sont une reconnaissance claire de l'importance du morphisme de Frobenius et une version du lemme de Hensel .

Les Disquisitiones étaient l'un des derniers ouvrages mathématiques écrits en latin savant . Une traduction anglaise n'a été publiée qu'en 1965.

Importance

Avant la publication des Disquisitiones , la théorie des nombres consistait en un ensemble de théorèmes et de conjectures isolés. Gauss a réuni le travail de ses prédécesseurs avec son propre travail original dans un cadre systématique, a comblé les lacunes, corrigé les preuves erronées et étendu le sujet de nombreuses manières.

La structure logique des Disquisitiones ( énoncé du théorème suivi d'une preuve , suivi de corollaires ) a établi une norme pour les textes ultérieurs. Tout en reconnaissant l'importance primordiale de la preuve logique, Gauss illustre également de nombreux théorèmes avec des exemples numériques.

The Disquisitiones a été le point de départ d'autres mathématiciens européens du XIXe siècle, dont Ernst Kummer , Peter Gustav Lejeune Dirichlet et Richard Dedekind . Bon nombre des annotations de Gauss sont en fait des annonces de ses propres recherches, dont certaines sont restées inédites. Ils ont dû paraître particulièrement cryptiques à ses contemporains ; elles peuvent maintenant être lues comme contenant les germes des théories des fonctions L et de la multiplication complexe , en particulier.

Les Disquisitiones ont continué à exercer une influence au 20ème siècle. Par exemple, dans la section V, article 303, Gauss a résumé ses calculs des nombres de classe des formes quadratiques binaires primitives appropriées, et a conjecturé qu'il les avait tous trouvés avec les numéros de classe 1, 2 et 3. Ceci a été interprété plus tard comme la détermination des champs de nombres quadratiques imaginaires avec discriminant pair et numéro de classe 1, 2 et 3, et étendu au cas du discriminant impair. Parfois appelée problème du numéro de classe , cette question plus générale a finalement été confirmée en 1986 (la question spécifique posée par Gauss a été confirmée par Landau en 1902 pour la classe numéro un). Dans la section VII, article 358, Gauss a prouvé ce qui peut être interprété comme le premier cas non trivial de l' hypothèse de Riemann pour les courbes sur des corps finis (le théorème de Hasse-Weil ).

Bibliographie

• Carl Friedrich Gauss, tr. Arthur A. Clarke, SJ : Disquisitiones Arithmeticae , Yale University Press, 1965, ISBN  0-300-09473-6
• Disquisitiones Arithmeticae (texte original en latin)
• Dunnington, G. Waldo (1935), « Gauss, His Disquisitiones Arithmeticae, and His Contemporaries in the Institut de France », National Mathematics Magazine , 9 (7) : 187–192, doi : 10.2307/3028190 , JSTOR  3028190

Les références

Liens externes

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•  La Wikisource latine a un texte original lié à cet article : Disquisitiones arithmeticae (original latin) (première édition 1801) (éd. 1870)
• Wikisource  français a le texte original lié à cet article : Recherches arithmétiques (traduction française) (éd. 1807)