Distribution dimensionnelle finie - Finite-dimensional distribution

En mathématiques , les distributions de dimension finie sont un outil dans l'étude des mesures et des processus stochastiques . Beaucoup d'informations peuvent être obtenues en étudiant la «projection» d'une mesure (ou d'un processus) sur un espace vectoriel de dimension finie (ou une collection finie de temps).

Distributions de dimension finie d'une mesure

Soit un espace de mesure . Les distributions de dimension finie de sont les mesures de pushforward , où , , est une fonction mesurable. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {F}}, \ mu)}$${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle f _ {*} (\ mu)}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} ^ {k}}$${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$

Distributions de dimension finie d'un processus stochastique

Soit un espace de probabilité et soit un processus stochastique . Les distributions de dimension finie de sont les mesures de poussée vers l'avant sur l' espace produit pour défini par ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle X: I \ times \ Omega \ to \ mathbb {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {i_ {1} \ dots i_ {k}} ^ {X}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {X} ^ {k}}$${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {i_ {1} \ dots i_ {k}} ^ {X} (S): = \ mathbb {P} \ left \ {\ omega \ in \ Omega \ left | \ left (X_ {i_ {1}} (\ omega), \ dots, X_ {i_ {k}} (\ omega) \ right) \ in S \ right. \ Right \}.}$

Très souvent, cette condition est exprimée en termes de rectangles mesurables :

${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {i_ {1} \ dots i_ {k}} ^ {X} (A_ {1} \ times \ cdots \ times A_ {k}): = \ mathbb {P} \ left \ {\ omega \ in \ Omega \ left | X_ {i_ {j}} (\ omega) \ in A_ {j} \ mathrm {\, for \,} 1 \ leq j \ leq k \ right. \ right \ }.}$

La définition des distributions de dimension finie d'un processus est liée à la définition d'une mesure de la manière suivante: rappelons que la loi de est une mesure sur la collection de toutes les fonctions de en . En général, il s'agit d'un espace de dimension infinie. Les distributions dimensionnelles finies de sont les mesures poussées vers l'avant sur l'espace produit de dimension finie , où ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {X} ^ {I}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ mathbb {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f _ {*} \ left ({\ mathcal {L}} _ {X} \ right)}$${\ displaystyle \ mathbb {X} ^ {k}}$

${\ displaystyle f: \ mathbb {X} ^ {I} \ to \ mathbb {X} ^ {k}: \ sigma \ mapsto \ left (\ sigma (t_ {1}), \ dots, \ sigma (t_ { k}) \ droite)}$

est la fonction naturelle «évaluer parfois ». ${\ displaystyle t_ {1}, \ dots, t_ {k}}$

Relation à l'étanchéité

On peut montrer que si une séquence de mesures de probabilité est serrée et que toutes les distributions de dimension finie du convergent faiblement vers les distributions de dimension finie correspondantes d'une certaine mesure de probabilité , alors converge faiblement vers . ${\ displaystyle (\ mu _ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ mu _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle \ mu}$

Voir également

• Loi (processus stochastiques)