Loi (processus stochastiques) - Law (stochastic processes)

En mathématiques , la loi d'un processus stochastique est la mesure que le processus induit sur la collection de fonctions de l' ensemble d'indices dans l'espace d'états. La loi encode beaucoup d'informations sur le processus; dans le cas d'une marche aléatoire , par exemple, la loi est la distribution de probabilité des trajectoires possibles de la marche.

Définition

Soit (Ω,  F ,  P ) un espace de probabilité , T un ensemble d'indices et ( S , Σ) un espace mesurable . Soit X  :  T  × Ω →  S un processus stochastique (donc la carte

${\ displaystyle X_ {t}: \ Omega \ to S: \ omega \ mapsto X (t, \ omega)}$

est une fonction ( S , Σ) - mesurable pour chaque t  ∈  T ). Soit S ^T représentent la collecte de toutes les fonctions de T dans S . Le processus X (par currying ) induit une fonction Φ _X  : Ω →  S ^T , où

${\ Displaystyle \ left (\ Phi _ {X} (\ omega) \ right) (t): = X_ {t} (\ omega).}$

La loi du processus X est alors définie comme étant la mesure pushforward

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}: = \ left (\ Phi _ {X} \ right) _ {*} (\ mathbf {P}) = \ mathbf {P} (\ Phi _ { X} ^ {- 1} [\ cdot])}$

sur S ^T .

Exemple

• La loi du mouvement brownien standard est la mesure classique de Wiener . (En effet, de nombreux auteurs définissent le mouvement brownien comme un exemple de processus continu commençant à l'origine dont la loi est la mesure de Wiener, puis procèdent à déduire l'indépendance des incréments et d'autres propriétés de cette définition; d'autres auteurs préfèrent travailler dans la direction opposée. )

Voir également

• Distribution dimensionnelle finie

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