Points fixes des groupes d'isométrie dans l'espace euclidien - Fixed points of isometry groups in Euclidean space

Un point fixe d'un groupe d'isométrie est un point qui est un point fixe pour chaque isométrie du groupe. Pour tout groupe d'isométrie dans l' espace euclidien, l'ensemble des points fixes est soit vide, soit un espace affine .

Pour un objet, tout centre unique et, plus généralement, tout point aux propriétés uniques par rapport à l'objet est un point fixe de son groupe de symétrie .

Cela s'applique en particulier au centre de gravité d'une figure, s'il existe. Dans le cas d'un corps physique, si pour la symétrie non seulement la forme mais aussi la densité est prise en compte, elle s'applique au centre de masse .

Si l'ensemble des points fixes du groupe de symétrie d'un objet est un singleton, alors l'objet a un centre de symétrie spécifique . Le centre de gravité et le centre de gravité, s'ils sont définis, sont ce point. Une autre signification de "centre de symétrie" est un point par rapport auquel la symétrie d'inversion s'applique. Un tel point n'a pas besoin d'être unique; si ce n'est pas le cas, il y a symétrie translationnelle , donc il y a une infinité de ces points. Par contre, dans les cas de symétrie par exemple C 3h et D 2, il existe un centre de symétrie dans le premier sens, mais pas d'inversion.

Si le groupe de symétrie d'un objet n'a pas de points fixes, l'objet est infini et son centroïde et son centre de masse ne sont pas définis.

Si l'ensemble de points fixes du groupe de symétrie d'un objet est une ligne ou un plan, le centroïde et le centre de masse de l'objet, s'ils sont définis, et tout autre point ayant des propriétés uniques par rapport à l'objet, se trouvent sur cette ligne ou en avion.

1D

Ligne
Seul le groupe d'isométrie triviale laisse la ligne entière fixe.
Point
Les groupes générés par une réflexion laissent un point fixe.

2D

Avion
Seul le groupe d'isométrie trivial C 1 laisse le plan entier fixe.
Ligne
C s par rapport à n'importe quelle ligne laisse cette ligne fixe.
Point
Les groupes de points en deux dimensions par rapport à n'importe quel point laissent ce point fixe.

3D

Espace
Seul le groupe d'isométrie trivial C 1 laisse tout l'espace fixe.
Avion
C s par rapport à un plan laisse ce plan fixe.
Ligne
Les groupes d'isométrie laissant une ligne fixe sont des isométries qui, dans chaque plan perpendiculaire à cette ligne, ont des groupes de points 2D communs en deux dimensions par rapport au point d'intersection de la ligne et des plans.
  • C n ( n > 1) et C nv ( n > 1)
  • symétrie cylindrique sans symétrie de réflexion dans un plan perpendiculaire à l'axe
  • cas dans lesquels le groupe de symétrie est un sous-ensemble infini de celui de la symétrie cylindrique
Point
Tous les autres groupes de points en trois dimensions
Pas de points fixes
Le groupe isométrie contient des traductions ou une opération de vis.

Dimension arbitraire

Point
Un exemple de groupe d'isométrie, appliqué dans chaque dimension, est celui généré par inversion en un point. Un parallélépipède à n dimensions est un exemple d'invariant d'objet sous une telle inversion.

Les références

Slavik V. Jablan, Symmetry, Ornament and Modularity , Volume 30 de la série K & E sur les nœuds et tout, World Scientific, 2002. ISBN  9812380809