Progression arithmétique généralisée - Generalized arithmetic progression

En mathématiques , un multiple progression arithmétique , une progression généralisée arithmétique ou d' un ensemble semi - linéaire , est une généralisation d'une progression arithmétique équipé de multiples différences courantes - alors une progression arithmétique est généré par une seule différence commune, une progression arithmétique généralisée peut être générée par multiple différences communes. Par exemple, la séquence n'est pas une progression arithmétique, mais est plutôt générée en commençant par 17 et en ajoutant 3 ou 5, permettant ainsi à plusieurs différences communes de la générer. ${\ displaystyle 17,20,22,23,25,26,27,28,29, \ dots}$

Progression arithmétique généralisée finie

Une progression arithmétique généralisée finie , ou parfois simplement une progression arithmétique généralisée (GAP), de dimension d est définie comme un ensemble de la forme

${\ displaystyle \ {x_ {0} + l_ {1} x_ {1} + \ cdots + l_ {d} x_ {d}: 0 \ leq l_ {1} <L_ {1}, \ ldots, 0 \ leq l_ {d} <L_ {d} \}}$

où . Le produit est appelé la taille de la progression arithmétique généralisée; la cardinalité de l'ensemble peut différer de la taille si certains éléments de l'ensemble ont plusieurs représentations. Si la cardinalité est égale à la taille, la progression est dite correcte . Les progressions arithmétiques généralisées peuvent être considérées comme une projection d'une grille de dimension supérieure dans . Cette projection est injective si et seulement si la progression arithmétique généralisée est correcte. ${\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {d}, L_ {1}, \ dots, L_ {d} \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle L_ {1} L_ {2} \ cdots L_ {d}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Ensembles semi-linéaires

Formellement, une progression arithmétique de est une séquence infinie de la forme , où et sont des vecteurs fixes dans , appelés respectivement vecteur initial et différence commune. Un sous-ensemble de est dit linéaire s'il est de la forme ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} + \ mathbf {v} ', \ mathbf {v} +2 \ mathbf {v}', \ mathbf {v} +3 \ mathbf {v} ', \ ldots}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} '}$${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$

${\ displaystyle \ left \ {\ mathbf {v} + \ sum _ {i = 1} ^ {m} k_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \, \ colon \, k_ {1}, \ points, k_ {m} \ in \ mathbb {N} \ right \},}$

où est un entier et sont des vecteurs fixes dans . Un sous-ensemble de est dit semi - linéaire s'il s'agit d'une union finie d'ensembles linéaires. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} _ {1}, \ dots, \ mathbf {v} _ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$

Les ensembles semi-linéaires sont exactement les ensembles définissables dans l'arithmétique de Presburger .

Voir également

• Théorème de Freiman

Références

• Nathanson, Melvyn B. (1996). Théorie additive des nombres: problèmes inverses et géométrie des ensembles de somme . Textes d'études supérieures en mathématiques . 165 . Springer. ISBN   0-387-94655-1 . Zbl   0859.11003 .