Mouvement brownien géométrique - Geometric Brownian motion

Un mouvement brownien géométrique (GBM) (également connu sous le nom de mouvement brownien exponentiel ) est un processus stochastique à temps continu dans lequel le logarithme de la quantité variant de manière aléatoire suit un mouvement brownien (également appelé processus de Wiener ) avec dérive . C'est un exemple important de processus stochastiques satisfaisant une équation différentielle stochastique (SDE); en particulier, il est utilisé en finance mathématique pour modéliser les cours des actions dans le modèle Black-Scholes .

Définition technique : le SDE

Un processus stochastique S _t est dit suivre un GBM s'il satisfait l' équation différentielle stochastique (SDE) suivante :

dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}

où est un processus de Wiener ou un mouvement brownien , et ('la dérive en pourcentage') et ('la volatilité en pourcentage') sont des constantes. $W_{t}$ ${\style d'affichage \mu }$ ${\style d'affichage \sigma }$

Le premier est utilisé pour modéliser des tendances déterministes, tandis que le dernier terme est souvent utilisé pour modéliser un ensemble d'événements imprévisibles se produisant au cours de ce mouvement.

Résoudre le SDE

Pour une valeur initiale arbitraire S _0, le SDE ci-dessus a la solution analytique (selon l'interprétation d'Itô ) :

S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right ).

La dérivation nécessite l'utilisation du calcul Itô . L'application de la formule d'Itô conduit à

d(\ln S_{t})=(\ln S_{t})'dS_{t}+{\frac {1}{2}}(\ln S_{t})''\,dS_ {t}\,dS_{t}={\frac {dS_{t}}{S_{t}}}-{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{S_{t} ^{2}}}\,dS_{t}\,dS_{t}

où est la variation quadratique de l'EDS. $dS_{t}\,dS_{t}$

dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dW_{t}^{2}+2\sigma S_{ t}^{2}\mu \,dW_{t}\,dt+\mu ^{2}S_{t}^{2}\,dt^{2}

Quand , converge vers 0 plus rapidement que , puisque . Ainsi, l'infinitésimal ci-dessus peut être simplifié par $dt\to 0$ $dt$ $dW_{t}$ $dW_{t}^{2}=O(dt)$

dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dt

En branchant la valeur de dans l'équation ci-dessus et en simplifiant, nous obtenons $dS_{t}$

\ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)t+\ sigma W_{t}\,.

Prendre l'exponentielle et multiplier les deux côtés par donne la solution revendiquée ci-dessus. ${\style d'affichage S_{0}}$

Propriétés

La solution ci-dessus (pour toute valeur de t) est une variable aléatoire à distribution log-normale avec une valeur attendue et une variance donnée par ${\style d'affichage S_{t}}$

\operatorname {E} (S_{t})=S_{0}e^{\mu t},

\operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right) .

Ils peuvent être dérivés en utilisant le fait que c'est une martingale , et que $Z_{t}=\exp \left(\sigma W_{t}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t\right)$

\operatorname {E} \left[\exp \left(2\sigma W_{t}-\sigma ^{2}t\right)\mid {\mathcal {F}}_{s}\right] =e^{\sigma ^{2}(ts)}\exp \left(2\sigma W_{s}-\sigma ^{2}s\right),\quad \forall 0\leq s<t.

La fonction de densité de probabilité de est : ${\style d'affichage S_{t}}$

f_{S_{t}}(s;\mu ,\sigma ,t)={\frac {1}{\sqrt {2}pi }}}\,{\frac {1}{s\sigma {\sqrt {t}}}}\,\exp \left(-{\frac {\left(\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {1}{2} }\sigma ^{2}\right)t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}t}}\right).

Dérivation de la fonction de densité de probabilité GBM

Pour dériver la fonction de densité de probabilité pour GBM, nous devons utiliser l' équation de Fokker-Planck pour évaluer l'évolution temporelle du PDF :

{\partial p \over {\partial t}}+{\partial \over {\partial S}}[\mu (t,S)p(t,S)]={1 \over {2} }{\partial ^{2} \over {\partial S^{2}}}[\sigma ^{2}(t,S)p(t,S)],\quad p(0,S)=\ delta (S)

où est la fonction delta de Dirac . Pour simplifier le calcul, on peut introduire une transformée logarithmique , conduisant à la forme de GBM : ${\style d'affichage \delta (S)}$ $x=\log(S/S_{0})$

dx=\left(\mu -{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)dt+\sigma dW

Alors l'équation équivalente de Fokker-Planck pour l'évolution du PDF devient :

{\partial p \over {\partial t}}+\left(\mu -{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right){\partial p \over {\partial x} }={1 \over {2}}\sigma ^{2}{\partial ^{2}p \over {\partial x^{2}}},\quad p(0,x)=\delta (x )

Définir et . En introduisant les nouvelles variables et , les dérivées dans l'équation de Fokker-Planck peuvent être transformées comme : $V=\mu -\sigma ^{2}/2$ $D=\sigma ^{2}/2$ ${\style d'affichage \xi =x-Vt}$ ${\style d'affichage \tau =Dt}$

{\begin{aligned}\partial _{t}p&=D\partial _{\tau }pV\partial _{\xi }p\\\partial _{x}p&=\partial _{\xi }p\\\partial _{x}^{2}p&=\partial _{\xi }^{2}p\end{aligned}}

Conduisant à la nouvelle forme de l'équation de Fokker-Planck :

{\partial p \over {\partial \tau }}={\partial ^{2}p \over {\partial \xi ^{2}}},\quad p(0,\xi )=\ delta (\xi )

Cependant, c'est la forme canonique de l' équation de la chaleur . qui a la solution donnée par le noyau de chaleur :

p(\tau ,\xi )={1 \over {\sqrt {4\pi \tau }}}\exp \left(-{\xi ^{2} \over {4\tau }}\ droite)

Le branchement des variables d'origine mène au PDF pour GBM :

p(t,S)={1 \over {S{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}t}}}}\exp \left\{-{\left[\log(S/ S_{0})-\left(\mu -{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)t\right]^{2} \over {2\sigma ^{2}t}} \droite\}

Lors de la dérivation d'autres propriétés de GBM, il est possible d'utiliser le SDE dont GBM est la solution, ou la solution explicite donnée ci-dessus peut être utilisée. Par exemple, considérons le log du processus stochastique ( S _t ). Il s'agit d'un processus intéressant, car dans le modèle Black-Scholes, il est lié au rendement logarithmique du cours de l'action. En utilisant le lemme d' Itô avec f ( S ) = log( S ) donne

{\begin{alignedat}{2}d\log(S)&=f'(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f''(S)S^{2}\ sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dW_{t}+\mu S\,dt\right)-{\ frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&=\sigma \,dW_{t}+(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt. \end{alignedat}}

Il s'ensuit que . $\operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t$

Ce résultat peut également être dérivé en appliquant le logarithme à la solution explicite de GBM :

{\begin{alignedat}{2}\log(S_{t})&=\log \left(S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{ 2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)\right)\\[6pt]&=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\ sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}.\end{alignedat}}

Prendre l'espérance donne le même résultat que ci-dessus : . $\operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t$

Simulation de chemins d'échantillonnage

# Python code for the plot

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

mu = 1
n = 50
dt = 0.1
x0 = 100
np.random.seed(1)

sigma = np.arange(0.8, 2, 0.2)

x = np.exp(
    (mu - sigma ** 2 / 2) * dt
    + sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(len(sigma), n)).T
)
x = np.vstack([np.ones(len(sigma)), x])
x = x0 * x.cumprod(axis=0)

plt.plot(x)
plt.legend(np.round(sigma, 2))
plt.xlabel("$t$")
plt.ylabel("$x$")
plt.title(
    "Realizations of Geometric Brownian Motion with different variances\n $\mu=1$"
)
plt.show()

Version multivariée

Le GBM peut être étendu au cas où il existe plusieurs chemins de prix corrélés.

Chaque chemin de prix suit le processus sous-jacent

dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sigma _{i}S_{t}^{i}\,dW_{t}^ {je},

où les processus de Wiener sont corrélés de telle sorte que où . $\operatorname {E} (dW_{t}^{i}\,dW_{t}^{j})=\rho _{i,j}\,dt$ ${\style d'affichage \rho _{i,i}=1}$

Pour le cas multivarié, cela implique que

\operatorname {Cov} (S_{t}^{i},S_{t}^{j})=S_{0}^{i}S_{0}^{j}e^{(\mu _{i}+\mu _{j})t}\left(e^{\rho _{i,j}\sigma _{i}\sigma _{j}t}-1\right).

Utilisation en finance

Le mouvement brownien géométrique est utilisé pour modéliser les cours des actions dans le modèle Black-Scholes et est le modèle le plus largement utilisé du comportement des cours des actions.

Certains des arguments en faveur de l'utilisation de GBM pour modéliser les cours des actions sont :

Les rendements attendus de GBM sont indépendants de la valeur du processus (cours de bourse), ce qui correspond à ce que nous attendrions en réalité.
Un processus GBM ne suppose que des valeurs positives, tout comme les prix réels des actions.
Un processus GBM montre le même type de « rugosité » dans ses chemins que nous voyons dans les cours boursiers réels.
Les calculs avec les processus GBM sont relativement faciles.

Cependant, GBM n'est pas un modèle tout à fait réaliste, en particulier il est en deçà de la réalité sur les points suivants :

Dans les cours boursiers réels, la volatilité change au fil du temps (peut-être de manière stochastique ), mais en GBM, la volatilité est supposée constante.
Dans la vraie vie, les cours boursiers montrent souvent des sauts causés par des événements ou des nouvelles imprévisibles, mais dans GBM, le chemin est continu (pas de discontinuité).

Rallonges

Pour tenter de rendre le GBM plus réaliste en tant que modèle pour les cours des actions, on peut abandonner l'hypothèse selon laquelle la volatilité ( ) est constante. Si nous supposons que la volatilité est une fonction déterministe du cours de l'action et du temps, cela s'appelle un modèle de volatilité locale . Si au contraire, nous supposons que la volatilité a son propre caractère aléatoire, souvent décrit par une équation différente entraînée par un mouvement brownien différent, le modèle est appelé modèle de volatilité stochastique . ${\style d'affichage \sigma }$

Voir également

surface brownienne

Languages

In other projects