Mesure de Gibbs - Gibbs measure

En mathématiques , la mesure de Gibbs , du nom de Josiah Willard Gibbs , est une mesure de probabilité fréquemment observée dans de nombreux problèmes de théorie des probabilités et de mécanique statistique . C'est une généralisation de l' ensemble canonique aux systèmes infinis. L'ensemble canonique donne la probabilité que le système X soit dans l'état x (équivalent, de la variable aléatoire X ayant la valeur x ) comme

${\displaystyle P(X=x)={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp(-\beta E(x)).}$

Ici, E ( x ) est une fonction de l'espace des états aux nombres réels ; dans les applications physiques, E ( x ) est interprété comme l'énergie de la configuration x . Le paramètre β est un paramètre libre; en physique, c'est l' inverse de la température . La normalisation constant Z ( β ) est la fonction de partition . Cependant, dans les systèmes infinis, l'énergie totale n'est plus un nombre fini et ne peut être utilisée dans la construction traditionnelle de la distribution de probabilité d'un ensemble canonique. Les approches traditionnelles en physique statistique ont étudié la limite des propriétés intensives lorsque la taille d'un système fini approche l'infini (la limite thermodynamique ). Lorsque la fonction d'énergie peut être écrite comme une somme de termes qui impliquent chacun uniquement des variables d'un sous-système fini, la notion de mesure de Gibbs fournit une approche alternative. Les mesures de Gibbs ont été proposées par des théoriciens des probabilités tels que Dobrushin , Lanford et Ruelle et ont fourni un cadre pour étudier directement les systèmes infinis, au lieu de prendre la limite des systèmes finis.

Une mesure est une mesure de Gibbs si les probabilités conditionnelles qu'elle induit sur chaque sous-système fini satisfont à une condition de cohérence : si tous les degrés de liberté en dehors du sous-système fini sont gelés, l'ensemble canonique du sous-système soumis à ces conditions aux limites correspond aux probabilités du Gibbs. mesure conditionnelle aux degrés de liberté gelés.

Le théorème de Hammersley-Clifford implique que toute mesure de probabilité qui satisfait une propriété de Markov est une mesure de Gibbs pour un choix approprié de fonction énergétique (définie localement). Par conséquent, la mesure de Gibbs applique aux problèmes généralisés en dehors de la physique , tels que les réseaux de Hopfield , réseaux de Markov , réseaux logiques de Markov , et rationalité limitée jeux potentiels dans la théorie des jeux et de l' économie. Une mesure de Gibbs dans un système avec des interactions locales (gamme finie) maximise la densité d' entropie pour une densité d'énergie attendue donnée ; ou, de manière équivalente, il minimise la densité d' énergie libre .

La mesure de Gibbs d'un système infini n'est pas nécessairement unique, contrairement à l'ensemble canonique d'un système fini, qui est unique. L'existence de plus d'une mesure de Gibbs est associée à des phénomènes statistiques tels que la brisure de symétrie et la coexistence de phases .

Physique statistique

L'ensemble des mesures de Gibbs sur un système est toujours convexe, il y a donc soit une mesure de Gibbs unique (auquel cas le système est dit " ergodique "), soit il y en a une infinité (et le système est dit " non ergodique ") . Dans le cas non ergodique, les mesures de Gibbs peuvent être exprimées comme l'ensemble des combinaisons convexes d'un nombre beaucoup plus petit de mesures de Gibbs spéciales appelées "états purs" (à ne pas confondre avec la notion apparentée mais distincte d' états purs en mécanique quantique ) . Dans les applications physiques, l'hamiltonien (la fonction énergétique) a généralement un certain sens de la localité et les états purs ont la propriété de décomposition en grappes selon laquelle les "sous-systèmes éloignés" sont indépendants. En pratique, les systèmes physiquement réalistes se trouvent dans l'un de ces états purs.

Si l'hamiltonien possède une symétrie, alors une mesure de Gibbs unique (c'est-à-dire ergodique) sera nécessairement invariante sous la symétrie. Mais dans le cas de mesures de Gibbs multiples (c'est-à-dire non ergodiques), les états purs ne sont généralement pas invariants sous la symétrie de l'hamiltonien. Par exemple, dans le modèle d'Ising ferromagnétique infini en dessous de la température critique, il existe deux états purs, les états « principalement vers le haut » et « surtout vers le bas », qui sont intervertis sous la symétrie du modèle . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Propriété de Markov

Un exemple de la propriété de Markov peut être vu dans la mesure de Gibbs du modèle d'Ising . La probabilité pour un spin donné σ _k pour être dans un état de pourrait, en principe, dépendent des états de tous les autres tours dans le système. Ainsi, nous pouvons écrire la probabilité sous la forme

${\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)}$.

Cependant, dans un modèle d'Ising avec uniquement des interactions à portée finie (par exemple, les interactions du plus proche voisin), nous avons en fait

${\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)=P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\ ,j\dans N_{k})}$,

où N _k est un voisinage du site k . C'est-à-dire que la probabilité au site k ne dépend que des spins dans un voisinage fini. Cette dernière équation se présente sous la forme d'une propriété de Markov locale . Les mesures avec cette propriété sont parfois appelées champs aléatoires de Markov . Plus fortement, l'inverse est également vrai : toute distribution de probabilité positive (densité non nulle partout) ayant la propriété de Markov peut être représentée comme une mesure de Gibbs pour une fonction d'énergie appropriée. C'est le théorème de Hammersley-Clifford .

Définition formelle sur les réseaux

Ce qui suit est une définition formelle pour le cas particulier d'un champ aléatoire sur un réseau. L'idée d'une mesure de Gibbs est cependant beaucoup plus générale que cela.

La définition d'un champ aléatoire de Gibbs sur un réseau nécessite une certaine terminologie :

• Le treillis : Un ensemble dénombrable .${\displaystyle \mathbb {L} }$
• L' espace à spin unique : Un espace de probabilité .${\displaystyle (S,{\mathcal {S}},\lambda )}$
• L' espace de configuration : , où et .${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle \Omega =S^{\mathbb {L} }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {S}}^{\mathbb {L} }}$
• Étant donné une configuration ω ∈ Ω et un sous - ensemble , la restriction de ω à Λ est . Si et , alors la configuration est la configuration dont les restrictions à Λ ₁ et Λ ₂ sont et , respectivement.${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {L} }$${\displaystyle \omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }}$${\displaystyle \Lambda _{1}\cap \Lambda _{2}=\emptyset }$${\displaystyle \Lambda _{1}\cup \Lambda _{2}=\mathbb {L} }$${\displaystyle \omega _{\Lambda _{1}}\omega _{\Lambda _{2}}}$${\displaystyle \omega _{\Lambda _{1}}}$${\displaystyle \omega _{\Lambda _{2}}}$
• L'ensemble de tous les sous-ensembles finis de .${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \mathbb {L} }$
• Pour chaque sous - ensemble , est la σ -algèbre engendrée par la famille des fonctions où . L'union de ces σ -algèbres comme varie sur est l'algèbre des ensembles de cylindre sur le réseau.${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {L} }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Lambda }}$${\displaystyle (\sigma (t))_{t\in \Lambda }}$${\displaystyle \sigma (t)(\omega )=\omega (t)}$${\style d'affichage \Lambda }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$
• Le potentiel : Une famille de fonctions Φ _A  : Ω → R telle que ${\displaystyle \Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}}$
  1. Pour chacun est -
  mesurable , ce qui signifie qu'il ne dépend que de la restriction (et le fait de manière mesurable).${\displaystyle A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$${\displaystyle \omega _{A}}$
• Pour tout et ω ∈ Ω , la série suivante existe :${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )=\sum _{A\in {\mathcal {L}},A\cap \Lambda \neq \emptyset }\Phi _{A}( \omega ).}$

Nous interprétons Φ _A comme la contribution à l'énergie totale (l'hamiltonien) associée à l'interaction entre tous les points de l'ensemble fini A . Alors que la contribution à l'énergie totale de tous les ensembles finis A qui se rencontrent . Notez que l'énergie totale est généralement infinie, mais lorsque nous "localisons" à chacun, elle peut être finie, espérons-le. ${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )}$${\style d'affichage \Lambda }$${\style d'affichage \Lambda }$

• Le hamiltonien dans des conditions limites , pour le potentiel Φ est défini par${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$

${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})=H_{\Lambda }^{\Phi }\left(\omega _{\Lambda }{\ barre {\omega }}_{\Lambda ^{c}}\right)}$

où .${\displaystyle \Lambda ^{c}=\mathbb {L} \setminus \Lambda }$

• La fonction de partition dans des conditions limites et de la température inverse β > 0 (pour le potentiel Φ et λ ) est définie par${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$

${\displaystyle Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})=\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{ \Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})),}$

où

${\displaystyle \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )=\prod _{t\in \Lambda }\lambda (\mathrm {d} \omega (t)),}$

est la mesure du produit

Un potentiel Φ est λ -admissible si est fini pour tout et β > 0 .${\displaystyle Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})}$${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega }$

Une mesure de probabilité μ sur une mesure de Gibbs pour un λ potentiel -admissible Φ si elle satisfait à l' équation Dobrushin-Lanford-Ruelle (DLR)${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$

${\displaystyle \int \mu (\mathrm {d} {\bar {\omega }})Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})^{-1}\int \ lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }}))1_{A} (\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}})=\mu (A),}$

pour tous et .${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$

Un exemple

Pour aider à comprendre les définitions ci-dessus, voici les quantités correspondantes dans l'exemple important du modèle d'Ising avec des interactions de plus proche voisin (constante de couplage J ) et un champ magnétique ( h ), sur Z ^d :

• Le treillis est simplement .${\displaystyle \mathbb {L} =\mathbf {Z} ^{d}}$
• L'espace à un seul spin est S = {−1, 1}.
• Le potentiel est donné par

${\displaystyle \Phi _{A}(\omega )={\begin{cases}-J\,\omega (t_{1})\omega (t_{2})&{\text{if }}A= \{t_{1},t_{2}\}{\text{ avec }}\|t_{2}-t_{1}\|_{1}=1\\-h\,\omega (t) &{\text{if }}A=\{t\}\\0&{\text{autrement}}\end{cases}}}$

Voir également

• Répartition Boltzmann
• Famille exponentielle
• Algorithme de Gibbs
• Échantillonnage de Gibbs
• Système de particules en interaction
• Jeu potentiel
• Softmax
• Automates cellulaires stochastiques

Les références

Lectures complémentaires

• Georgii, H.-O. (2011) [1988]. Mesures de Gibbs et transitions de phase (2e éd.). Berlin : de Gruyter. ISBN 978-3-11-025029-9.
• Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). Mécanique statistique des systèmes en treillis : une introduction mathématique concrète . Cambridge : Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.