Losange doré - Golden rhombus

En géométrie , un losange doré est un losange dont les diagonales sont dans le nombre d' or :

${\ displaystyle {D \ over d} = \ varphi = {{1 + {\ sqrt {5}}} \ over 2} \ approx 1,618 ~ 034}$

De manière équivalente, il s'agit du parallélogramme de Varignon formé à partir des milieux de bord d'un rectangle d'or . Les losanges de cette forme forment les faces de plusieurs polyèdres notables. Le losange doré doit être distingué des deux losanges du carrelage Penrose , qui sont tous deux liés d'une autre manière au nombre d'or mais ont des formes différentes du losange doré.

Angles

(Voir les caractérisations et les propriétés de base du losange général pour les propriétés d'angle.)

Les angles supplémentaires internes du losange d'or sont:

• L' angle aigu:  ; ${\ displaystyle \ alpha = 2 \ arctan {1 \ over \ varphi}}$

en utilisant la formule d'addition arctangente (voir fonctions trigonométriques inverses ):

${\ displaystyle \ alpha = \ arctan {{2 \ over \ varphi} \ over {1 - ({1 \ over \ varphi}) ^ {2}}} = \ arctan {{2 \ over \ varphi} \ over { 1 \ over \ varphi}} = \ arctan 2 \ approx 63.43495 ^ {\ circ}.}$

• Angle obtus: ${\ displaystyle \ beta = 2 \ arctan \ varphi = \ pi - \ arctan 2 \ approx 116.56505 ^ {\ circ},}$

qui est également l' angle dièdre du dodécaèdre .

Remarque: une égalité «anecdotique»: ${\ displaystyle \ pi - \ arctan 2 = \ arctan 1+ \ arctan 3 ~.}$

Bord et diagonales

En utilisant la loi du parallélogramme (voir les propriétés de base du losange général ):

La longueur du bord du losange doré en termes de longueur diagonale est: ${\ displaystyle d}$

• ${\ displaystyle a = {1 \ over 2} {\ sqrt {d ^ {2} + (\ varphi d) ^ {2}}} = {1 \ over 2} {\ sqrt {1+ \ varphi ^ {2 }}} ~ d = {{\ sqrt {2+ \ varphi}} \ over 2} ~ d = {1 \ over 4} {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}} ~ d \ approx 0,95106 ~ d ~. ~}$ D'où:

Les longueurs diagonales du losange doré en termes de longueur de bord sont: ${\ displaystyle a}$

• ${\ displaystyle d = {2a \ over {\ sqrt {2+ \ varphi}}} = 2 {\ sqrt {{3- \ varphi} \ over 5}} ~ a = {\ sqrt {2- {2 \ over {\ sqrt {5}}}}} ~ a \ approx 1.05146 ~ a ~.}$

• ${\ displaystyle D = {2 \ varphi a \ over {\ sqrt {2+ \ varphi}}} = 2 {\ sqrt {{2+ \ varphi} \ over 5}} ~ a = {\ sqrt {2+ { 2 \ over {\ sqrt {5}}}}} ~ a \ approx 1.70130 ~ a ~.}$

Surface

• En utilisant la formule de l' aire du losange général en fonction de ses longueurs diagonales et  : ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle d}$

L'aire du losange doré en termes de longueur diagonale est: ${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle A = {{(\ varphi d) \ cdot d} \ over 2} = {{\ varphi} \ over 2} ~ d ^ {2} = {{1 + {\ sqrt {5}}} \ plus de 4} ~ d ^ {2} \ approx 0.80902 ~ d ^ {2} ~.}$

• En utilisant la formule de l' aire du losange général en fonction de sa longueur d'arête  : ${\ displaystyle a}$

L'aire du losange doré en termes de longueur de bord est: ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle A = (\ sin (\ arctan 2)) ~ a ^ {2} = {2 \ over {\ sqrt {5}}} ~ a ^ {2} \ approx 0.89443 ~ a ^ {2} ~. }$

Remarque :, d'où: ${\ displaystyle \ alpha + \ beta = \ pi}$${\ displaystyle \ sin \ alpha = \ sin \ beta ~.}$

Comme les visages des polyèdres

Plusieurs polyèdres notables ont des losanges dorés comme visages. Ils comprennent les deux rhomboèdres dorés (avec six faces chacun), le dodécaèdre Bilinski (avec 12 faces), l' icosaèdre rhombique (avec 20 faces), le triacontaèdre rhombique (avec 30 faces) et l'hexécontaèdre rhombique non convexe (avec 60 faces) . Les cinq premiers sont les seuls polyèdres convexes à faces dorées en losange, mais il existe une infinité de polyèdres non convexes ayant cette forme pour l'ensemble de leurs faces.

• 

  Rhomboèdre doré aigu

• 

  Obtus rhomboèdre doré

• 

  Dodécaèdre Bilinski

• 

  icosaèdre rhombique

• 

  triacontaèdre rhombique

• 

  hexécontaèdre rhombique

Voir également

• Triangle d'or

Les références