Théorie de Galois de Grothendieck - Grothendieck's Galois theory

En mathématiques , la théorie de Galois de Grothendieck est une approche abstraite de la théorie de Galois des champs, développée vers 1960 pour fournir un moyen d'étudier le groupe fondamental de la topologie algébrique dans le cadre de la géométrie algébrique . Il offre, dans le cadre classique de la théorie des champs , une perspective alternative à celle d' Emil Artin basée sur l'algèbre linéaire , qui est devenue la norme à partir des années 1930 environ.

L'approche d' Alexander Grothendieck concerne la catégorie-théorétique propriétés qui caractérisent les catégories de fini G -ASSORTIMENTS fixe pour un groupe profini G . Par exemple, G pourrait être le groupe noté , qui est la limite inverse des groupes additifs cycliques Z / n Z - ou de manière équivalente l'achèvement du groupe cyclique infini Z pour la topologie des sous-groupes d' indice fini . Un fini G -set est alors un ensemble fini X sur lequel G agit par l' intermédiaire d' un groupe cyclique fini quotient, de sorte qu'il est spécifié en donnant une certaine permutation de X .

Dans l'exemple ci - dessus, avec une connexion classique théorie de Galois peut voir en considérant que le groupe de Galois profinie Gal ( F / F) de la clôture algébrique F de tout corps fini F , sur F . Autrement dit, les automorphismes de F fixation F sont décrits par la limite inverse, que nous prenons plus en plus grandes finis champs de fractionnement sur F . Le lien avec la géométrie peut être vu quand on regarde les espaces de recouvrement du disque unité dans le plan complexe avec l'origine supprimée: le recouvrement fini réalisé par la carte z n du disque, pensé au moyen d'une variable numérique complexe z , correspond au sous-groupe n . Z du groupe fondamental du disque perforé.

La théorie de Grothendieck, publiée dans SGA1 , montre comment reconstruire la catégorie des G -sets à partir d'un foncteur de fibre Φ, qui dans le cadre géométrique prend la fibre d'un revêtement au-dessus d'un point de base fixe (comme un ensemble). En fait, il existe un isomorphisme prouvé du type

G ≅ Aut (Φ),

ce dernier étant le groupe des automorphismes ( équivalences auto- naturelles ) de Φ. Une classification abstraite des catégories avec un foncteur à la catégorie des ensembles est donnée, au moyen de laquelle on peut reconnaître des catégories de G -sets pour G profinite .

Pour voir comment cela s'applique au cas des champs, il faut étudier le produit tensoriel des champs . Dans la théorie des topos , cela fait partie de l'étude des topos atomiques .

Voir également

Les références

  • Grothendieck, A .; et coll. (1971). SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental, 1960-1961 ' . Notes de cours en mathématiques. 224 . SpringerSphiwe Verlag. arXiv : math / 0206203 . ISBN   978-3-540-36910-3 .
  • Joyal, André; Tierney, Myles (1984). Une extension de la théorie galoisienne de Grothendieck . Mémoires de l'American Mathematical Society. ISBN   0-8218-2312-4 .