Index d'un sous-groupe - Index of a subgroup

En mathématiques , plus particulièrement la théorie des groupes , l' indice d'un sous - groupe H d'un groupe G est le nombre de gauche cosets de H dans G , ou de manière équivalente, le nombre de classes à droite de H dans G . L'indice est noté ou ou . Parce que G est l'union disjointe des cosets de gauche et que chaque coset de gauche a la même taille que H , l'indice est lié aux ordres des deux groupes par la formule ${\ displaystyle | G: H |}$${\ displaystyle [G: H]}$${\ displaystyle (G: H)}$

${\ Displaystyle | G | = | G: H || H |}$

(interpréter les quantités comme des nombres cardinaux si certains d'entre eux sont infinis). Ainsi , l'indice mesure les « tailles relatives » de G et H . ${\ displaystyle | G: H |}$

Par exemple, soit le groupe d'entiers sous addition , et soit le sous-groupe constitué des entiers pairs . A alors deux cosets dedans , à savoir l'ensemble des entiers pairs et l'ensemble des entiers impairs, donc l'indice est 2. Plus généralement, pour tout entier positif n . ${\ displaystyle G = \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle H = 2 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 2 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle | \ mathbb {Z}: 2 \ mathbb {Z} |}$${\ displaystyle | \ mathbb {Z}: n \ mathbb {Z} | = n}$

Lorsque G est fini , la formule peut s'écrire , et cela implique le théorème de Lagrange qui divise . ${\ Displaystyle | G: H | = | G | / | H |}$${\ displaystyle | H |}$${\ displaystyle | G |}$

Lorsque G est infini, est un nombre cardinal différent de zéro qui peut être fini ou infini. Par exemple, mais est infini. ${\ displaystyle | G: H |}$${\ displaystyle | \ mathbb {Z}: 2 \ mathbb {Z} | = 2}$${\ displaystyle | \ mathbb {R}: \ mathbb {Z} |}$

Si N est un sous - groupe de G , alors est égale à l'ordre du groupe quotient , puisque l'ensemble sous - jacent est l'ensemble des cosets de N dans G . ${\ displaystyle | G: N |}$ ${\ displaystyle G / N}$${\ displaystyle G / N}$

Propriétés

• Si H est un sous-groupe de G et K est un sous-groupe de H , alors

${\ Displaystyle | G: K | = | G: H | \, | H: K |.}$

• Si H et K sont des sous-groupes de G , alors

${\ Displaystyle | G: H \ cap K | \ leq | G: H | \, | G: K |,}$

avec égalité si . (Si est fini, alors l'égalité vaut si et seulement si .)${\ displaystyle HK = G}$${\ displaystyle | G: H \ cap K |}$${\ displaystyle HK = G}$

• De manière équivalente, si H et K sont des sous-groupes de G , alors

${\ Displaystyle | H: H \ cap K | \ leq | G: K |,}$

avec égalité si . (Si est fini, alors l'égalité vaut si et seulement si .)${\ displaystyle HK = G}$${\ displaystyle | H: H \ cap K |}$${\ displaystyle HK = G}$

• Si G et H sont des groupes et est un homomorphisme , alors l'indice du noyau de dans G est égal à l'ordre de l'image:${\ displaystyle \ varphi \ colon G \ à H}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle | G: \ operatorname {ker} \; \ varphi | = | \ operatorname {im} \; \ varphi |.}$

• Que G soit un groupe agissant sur un ensemble X , et que x  ∈  X . Alors la cardinalité de l' orbite de x sous G est égale à l'indice du stabilisateur de x :

${\ displaystyle | Gx | = | G: G_ {x} |. \!}$

C'est ce qu'on appelle le théorème du stabilisateur d'orbite .

• Comme un cas particulier du théorème orbite stabilisateur, le nombre de conjugués d'un élément est égal à l'indice du centreur de x dans G .${\ displaystyle gxg ^ {- 1}}$${\ displaystyle x \ in G}$
• De même, le nombre de conjugués d'un sous - groupe H dans G est égal à l'indice du normalisateur de H dans G .${\ displaystyle gHg ^ {- 1}}$
• Si H est un sous-groupe de G , l'indice du noyau normal de H satisfait l'inégalité suivante:

${\ displaystyle | G: \ operatorname {Core} (H) | \ leq | G: H |!}$

où ! désigne la fonction factorielle ; ceci est discuté plus en détail ci-dessous .

• En corollaire, si l'indice de H dans G est 2, ou pour un groupe fini le plus petit premier p qui divise l'ordre de G, alors H est normal, car l'indice de son noyau doit aussi être p, et donc H est égal son noyau, c'est à dire, il est normal.
• Notez qu'un sous-groupe d'indice premier le plus bas peut ne pas exister, comme dans tout groupe simple d'ordre non premier, ou plus généralement tout groupe parfait .

Exemples

• Le groupe alterné a l'indice 2 dans le groupe symétrique et est donc normal.${\ displaystyle A_ {n}}$ ${\ displaystyle S_ {n},}$
• Le groupe orthogonal spécial a l'indice 2 dans le groupe orthogonal , et est donc normal.${\ displaystyle \ operatorname {SO} (n)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {O} (n)}$
• Le groupe abélien libre comprend trois sous-groupes d'indice 2, à savoir${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ {(x, y) \ mid x {\ text {est pair}} \}, \ quad \ {(x, y) \ mid y {\ text {est pair}} \}, \ quad { \ text {et}} \ quad \ {(x, y) \ mid x + y {\ text {est pair}} \}}$.

• Plus généralement, si p est premier alors a des sous-groupes d'indice p , correspondant aux homomorphismes non triviaux .${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\ Displaystyle (p ^ {n} -1) / (p-1)}$${\ displaystyle (p ^ {n} -1)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n} \ to \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$
• De même, le groupe libre a des sous-groupes d'indice p .${\ displaystyle F_ {n}}$${\ displaystyle (p ^ {n} -1)}$
• Le groupe dièdre infini a un sous - groupe cyclique d'indice 2, ce qui est nécessairement normal.

Index infini

Si H a un nombre infini de cosets dans G , alors l'indice de H dans G est dit infini. Dans ce cas, l'index est en fait un nombre cardinal . Par exemple, l'indice de H dans G peut être dénombrable ou non dénombrable , selon que H a un certain nombre de classes d' équivalence en dénombrable G . Notez que l'indice de H est au plus de l'ordre de G, qui est réalisé pour le sous-groupe trivial, ou en fait tout sous-groupe H de cardinalité infinie inférieure à celle de G.${\ displaystyle | G: H |}$

Indice fini

Un groupe infini G peut avoir des sous-groupes H d'indice fini (par exemple, les entiers pairs à l'intérieur du groupe d'entiers). Un tel sous-groupe contient toujours un sous-groupe normal N (de G ), également d'indice fini. En fait, si H a l'indice n , alors l'indice de N peut être pris comme un facteur de n !; En effet, N peut être considéré comme le noyau de l'homomorphisme naturel de G au groupe de permutation de la gauche (ou droite) cosets de H .

Un cas particulier, n = 2, donne le résultat général qu'un sous-groupe d'indice 2 est un sous-groupe normal, car le sous-groupe normal ( N ci-dessus) doit avoir l'indice 2 et donc être identique au sous-groupe d'origine. Plus généralement, un sous-groupe d'indice p où p est le plus petit facteur premier de l'ordre de G (si G est fini) est nécessairement normal, car l'indice de N divise p ! et doit donc être égal à p, n'ayant pas d'autres facteurs premiers.

Une autre preuve du résultat que le sous-groupe d'indice le plus petit premier p est normal, et d'autres propriétés des sous-groupes d'indice premier sont données dans ( Lam 2004 ).

Exemples

Les considérations ci-dessus sont également valables pour les groupes finis. Par exemple, le groupe O de symétrie octaédrique chirale comporte 24 éléments. Il dispose d' un dièdre D ₄ sous - groupe (en fait , il a trois tels) d'ordre 8, et donc de l' indice de 3 à O , que nous appellerons H . Ce groupe a un dièdre 4 membres D ₂ sous - groupe, que nous pouvons appeler un . En multipliant à droite tout élément d'un coset droit de H par un élément de A donne un membre du même coset de H ( Hca = Hc ). A est normal en O . Il y a six cosets de A , correspondant aux six éléments du groupe symétrique S ₃ . Tous les éléments de tout co - ensemble particulier de A effectuent la même permutation des classes d' équivalence de H .

D'autre part, le groupe T _h de symétrie pyritoédrique comporte également 24 membres et un sous-groupe d'indice 3 (cette fois il s'agit d'un groupe de symétrie prismatique D _2h , voir groupes de points en trois dimensions ), mais dans ce cas le sous-groupe entier est un sous-groupe normal. Tous les membres d'un coset particulier effectuent la même permutation de ces cosets, mais dans ce cas ils ne représentent que le groupe alterné à 3 éléments dans le groupe symétrique S _{3 à} 6 éléments .

Sous-groupes normaux de l'indice de puissance prime

Les sous-groupes normaux d' indice de puissance premier sont des noyaux de cartes surjectives en p- groupes et ont une structure intéressante, comme décrit au théorème de sous-groupe focal: sous - groupes et élaboré au théorème de sous-groupe focal .

Il existe trois sous-groupes normaux importants d'indice de puissance prime, chacun étant le plus petit sous-groupe normal d'une certaine classe:

• E ^p ( G ) est l'intersection de tous les sous-groupes normaux d' indice p ; G / E ^p ( G ) est un groupe abélien élémentaire , et est le plus grand p- groupe abélien élémentaire sur lequel G surjecte.
• A ^p ( G ) est l'intersection de tous les sous-groupes normaux K tels que G / K est un p -groupe abélien (c'est-à-dire que K est un sous-groupe normal d' indice qui contient le groupe dérivé ): G / A ^p ( G ) est le plus grand p -groupe abélien (pas forcément élémentaire) sur lequel G surjecte.${\ displaystyle p ^ {k}}$${\ displaystyle [G, G]}$
• O ^p ( G ) est l'intersection de tous les sous-groupes normaux K de G tels que G / K est un p -groupe ( éventuellement non abélien) (c'est-à-dire que K est un sous-groupe normal d' indice ): G / O ^p ( G ) est le plus grand groupe p (pas nécessairement abélien) sur lequel G surjecte. O ^p ( G ) est également connu sous le nom de${\ displaystyle p ^ {k}}$p -sous-groupe résiduel .

Comme ce sont des conditions plus faibles sur les groupes K, on obtient les confinements

${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {p} (G) \ supseteq \ mathbf {A} ^ {p} (G) \ supseteq \ mathbf {O} ^ {p} (G).}$

Ces groupes ont des liens importants avec les sous-groupes Sylow et l'homomorphisme de transfert, comme discuté ici.

Structure géométrique

Une observation élémentaire est qu'on ne peut pas avoir exactement 2 sous-groupes d'indice 2, car le complément de leur différence symétrique en donne un troisième. Ceci est un simple corollaire de la discussion ci-dessus (à savoir la projectivisation de la structure de l'espace vectoriel du groupe abélien élémentaire

${\ Displaystyle G / \ mathbf {E} ^ {p} (G) \ cong (\ mathbf {Z} / p) ^ {k}}$,

et de plus, G n'agit pas sur cette géométrie, ni ne reflète aucune des structures non abéliennes (dans les deux cas car le quotient est abélien).

Cependant, c'est un résultat élémentaire, qui peut être vu concrètement comme suit: l'ensemble des sous-groupes normaux d'un indice p donné forme un espace projectif , à savoir l'espace projectif

${\ displaystyle \ mathbf {P} (\ operatorname {Hom} (G, \ mathbf {Z} / p)).}$

Dans le détail, l'espace des homomorphismes de G au groupe (cyclique) d'ordre p, est un espace vectoriel sur le corps fini Une telle carte non triviale a pour noyau un sous-groupe normal d'indice p, et multiplie la carte par un élément of (un nombre différent de zéro mod p ) ne change pas le noyau; ainsi on obtient une carte de ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (G, \ mathbf {Z} / p),}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {p} = \ mathbf {Z} / p.}$${\ displaystyle (\ mathbf {Z} / p) ^ {\ times}}$

${\ displaystyle \ mathbf {P} (\ operatorname {Hom} (G, \ mathbf {Z} / p)): = (\ operatorname {Hom} (G, \ mathbf {Z} / p)) \ setminus \ { 0 \}) / (\ mathbf {Z} / p) ^ {\ times}}$

aux sous- groupes d' index normal p . Inversement, un sous-groupe normal d'indice p détermine une carte non triviale jusqu'à un choix de «quel coset correspond à qui montre que cette carte est une bijection. ${\ displaystyle \ mathbf {Z} / p}$${\ displaystyle 1 \ in \ mathbf {Z} / p,}$

En conséquence, le nombre de sous-groupes normaux d'indice p est

${\ Displaystyle (p ^ {k + 1} -1) / (p-1) = 1 + p + \ cdots + p ^ {k}}$

pour certains k; ne correspond à aucun sous-groupe normal de l'indice p . De plus, étant donné deux sous-groupes normaux distincts d'indice p, on obtient une ligne projective constituée de tels sous-groupes. ${\ displaystyle k = -1}$${\ displaystyle p + 1}$

Pour la différence symétrique de deux sous-groupes d'indice 2 distincts (qui sont nécessairement normaux) donne le troisième point sur la ligne projective contenant ces sous-groupes, et un groupe doit contenir des sous-groupes d'indice 2 - il ne peut pas contenir exactement 2 ou 4 sous-groupes d'indice 2, par exemple . ${\ displaystyle p = 2,}$${\ displaystyle 0,1,3,7,15, \ ldots}$

Voir également

• Virtuellement
• Codimension

Les références

Liens externes

• Normalité des sous-groupes d'indice prime sur PlanetMath.org .
• "Le sous-groupe du moindre indice premier est normal " chez Groupprops, The Group Properties Wiki