Constante hermite - Hermite constant

En mathématiques , la constante Hermite , nommée d'après Charles Hermite , détermine à quel point un élément d'un réseau dans l' espace euclidien peut être court .

La constante γ _n pour les entiers n > 0 est définie comme suit. Pour un réseau L dans l' espace euclidien R ⁿ unité covolume, ie vol ( R ⁿ / L ) = 1, et encore λ ₁ ( L ) désignent la longueur minimum d'un élément non nul de L . Ensuite , √ la y _n est le maximum de λ ₁ ( L ) sur l' ensemble tels réseaux L .

La racine carrée dans la définition de la constante Hermite est une question de convention historique.

Alternativement, la constante d'Hermite γ _n peut être définie comme le carré de la systole maximale d'un tore plat n- dimensionnel de volume unitaire.

Exemple

La constante Hermite est connue dans les dimensions 1–8 et 24.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	24
${\ displaystyle \ gamma _ {n} ^ {n}}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle {\ frac {4} {3}}}$	${\ displaystyle 2}$	${\ displaystyle 4}$	${\ displaystyle 8}$	${\ displaystyle {\ frac {64} {3}}}$	${\ displaystyle 64}$	${\ displaystyle 2 ^ {8}}$	${\ displaystyle 4 ^ {24}}$

Pour n = 2, on a γ ₂ = 2 / √ 3 . Cette valeur est atteinte par le réseau hexagonal des entiers d'Eisenstein .

Estimations

Il est connu que

${\ displaystyle \ gamma _ {n} \ leq \ left ({\ frac {4} {3}} \ right) ^ {\ frac {n-1} {2}}.}$

Une estimation plus forte due à Hans Frederick Blichfeldt est

${\ displaystyle \ gamma _ {n} \ leq \ left ({\ frac {2} {\ pi}} \ right) \ Gamma \ left (2 + {\ frac {n} {2}} \ right) ^ { \ frac {2} {n}},}$

où est la fonction gamma . ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$

Voir également

• L'inégalité des tores de Loewner

Les références

• Cassels, JWS (1997). Une introduction à la géométrie des nombres . Classics in Mathematics (Réimpression de 1971 ed.). Springer-Verlag . ISBN   978-3-540-61788-4 .
• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmétique des formes quadratiques . Tracts de Cambridge en mathématiques. 106 . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN   0-521-40475-4 . Zbl   0785.11021 .
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Approximations diophantiennes et équations diophantiennes . Notes de cours en mathématiques. 1467 (2e éd.). Springer-Verlag . p. 9. ISBN   3-540-54058-X . Zbl   0754.11020 .