Inégalité des tores de Loewner - Loewner's torus inequality

En géométrie différentielle , l'inégalité du tore de Loewner est une inégalité due à Charles Loewner . Il relie la systole et l' aire d'une métrique riemannienne arbitraire sur le 2-tore .

Déclaration

En 1949, Charles Loewner a prouvé que chaque métrique sur le 2 tore satisfait l'inégalité optimale ${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {sys} ^ {2} \ leq {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ operatorname {area} (\ mathbb {T} ^ {2}),}$

où "sys" est sa systole , c'est-à-dire la plus petite longueur d'une boucle non contractable. La constante apparaissant sur le côté droit est la constante Hermite en dimension 2, de sorte que l'inégalité du tore de Loewner peut être réécrite comme ${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {sys} ^ {2} \ leq \ gamma _ {2} \; \ operatorname {area} (\ mathbb {T} ^ {2}).}$

L'inégalité a été mentionnée pour la première fois dans la littérature de Pu (1952) .

Cas d'égalité

Le cas limite de l'égalité est atteint si et seulement si la métrique est plate et homothétique au tore dit équilatéral , c'est-à-dire dont le groupe de transformations de pont est précisément le réseau hexagonal enjambé par les racines cubiques de l'unité en . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Formulation alternative

Étant donné une métrique doublement périodique sur (par exemple une imbrication dans laquelle est invariante par une action isométrique), il y a un élément non nul et un point tel que , où est un domaine fondamental pour l'action, alors que est la distance riemannienne, à savoir la plus petite longueur de un chemin joignant et . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ displaystyle g \ in \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ textstyle \ operatorname {dist} (p, gp) ^ {2} \ leq {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ operatorname {area} (F)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ operatorname {dist}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle gp}$

Preuve de l'inégalité des tores de Loewner

L'inégalité de tore de Loewner peut être prouvée plus facilement en utilisant la formule de calcul de la variance,

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X ^ {2}) - (\ operatorname {E} (X)) ^ {2} = \ mathrm {var} (X).}$

A savoir, la formule est appliquée à la mesure de probabilité définie par la mesure du tore plat de surface unitaire dans la classe conforme du tore donné. Pour la variable aléatoire X , on prend le facteur conforme de la métrique donnée par rapport à la variable plate. Alors la valeur attendue E ( X  ² ) de X  ² exprime l'aire totale de la métrique donnée. Pendant ce temps, la valeur attendue E ( X ) de X peut être liée à la systole en utilisant le théorème de Fubini . La variance de X peut alors être considérée comme le défaut isosystolique, analogue au défaut isopérimétrique de l'inégalité de Bonnesen . Cette approche produit donc la version suivante de l'inégalité de tore de Loewner avec défaut isosystolique:

${\ displaystyle \ mathrm {zone} - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} (\ mathrm {sys}) ^ {2} \ geq \ mathrm {var} (f),}$

où ƒ est le facteur conforme de la métrique par rapport à une métrique plane unitaire dans sa classe conforme.

Genre supérieur

Que l'inégalité

${\ displaystyle (\ mathrm {sys}) ^ {2} \ leq \ gamma _ {2} \, \ mathrm {zone}}$

est satisfaite par toutes les surfaces de caractéristique d'Euler non positive est inconnue. Pour les surfaces orientables du genre 2 et du genre 20 et plus, la réponse est affirmative, voir les travaux de Katz et Sabourau ci-dessous.

Voir également

• L'inégalité de Pu pour le plan projectif réel
• L'inégalité systolique de Gromov pour les variétés essentielles
• L'inégalité de Gromov pour un espace projectif complexe
• Entier d'Eisenstein (un exemple de réseau hexagonal)
• Systoles de surfaces

Les références

• Horowitz, Charles; Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2009). "L'inégalité de tore de Loewner avec le défaut isosystolique". Journal d'analyse géométrique . 19 (4): 796–808. arXiv : 0803.0690 . doi : 10.1007 / s12220-009-9090-y . MR   2538936 . S2CID   18444111 . CS1 maint: paramètre découragé ( lien )
• Katz, Mikhail G. (2007). Géométrie systolique et topologie . Enquêtes mathématiques et monographies. 137 . Avec une annexe de J. Solomon. Providence, RI: Société mathématique américaine . doi : 10.1090 / surv / 137 . ISBN   978-0-8218-4177-8 . MR   2292367 .
• Katz, Mikhail G .; Sabourau, Stéphane (2005). "Entropie des surfaces systoliquement extrémales et des limites asymptotiques". Dynamique de la théorie ergodique. Systèmes . 25 (4): 1209-1220. arXiv : math.DG / 0410312 . doi : 10.1017 / S0143385704001014 . MR   2158402 . S2CID   11631690 .
• Katz, Mikhail G .; Sabourau, Stéphane (2006). "Les surfaces hyperelliptiques sont Loewner". Proc. Amer. Math. Soc. 134 (4): 1189-1195. arXiv : math.DG / 0407009 . doi : 10.1090 / S0002-9939-05-08057-3 . MR   2196056 . S2CID   15437153 .
• Pu, Pao Ming (1952). "Quelques inégalités dans certaines variétés riemanniennes non orientables" . Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. doi : 10.2140 / pjm.1952.2.55 . MR   0048886 .