Numéro de l'ermite - Hermite number

En mathématiques , les nombres d'Hermite sont des valeurs de polynômes d'Hermite à zéro argument. Typiquement, ils sont définis pour les polynômes d'Hermite des physiciens.

Définition formelle

Les nombres H _n = H _n (0), où H _n ( x ) est un polynôme d'Hermite d'ordre n , peuvent être appelés nombres d'Hermite.

Les premiers numéros de l'Hermite sont :

${\style d'affichage H_{0}=1\,}$

${\style d'affichage H_{1}=0\,}$

${\style d'affichage H_{2}=-2\,}$

${\style d'affichage H_{3}=0\,}$

${\style d'affichage H_{4}=+12\,}$

${\style d'affichage H_{5}=0\,}$

${\style d'affichage H_{6}=-120\,}$

${\style d'affichage H_{7}=0\,}$

${\displaystyle H_{8}=+1680\,}$

${\style d'affichage H_{9}=0\,}$

${\displaystyle H_{10}=-30240\,}$

Relations de récursivité

Sont obtenus à partir des relations de récursivité des polynômes hermitiens pour x = 0 :

${\displaystyle H_{n}=-2(n-1)H_{n-2}.\,\!}$

Puisque H ₀ = 1 et H ₁ = 0 on peut construire une formule fermée pour H _n :

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is impair}}\\(-1)^{n/2}2^{n/ 2}(n-1)!!,&{\mbox{if }}n{\mbox{ est pair}}\end{cases}}}$

où ( n - 1) !! = 1 × 3 × ... × ( n - 1).

Usage

De la fonction génératrice des polynômes hermitiens, il résulte que

${\displaystyle \exp(-t^{2}+2tx)=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!} }\,\!}$

La référence donne une série formelle formelle :

${\displaystyle H_{n}(x)=(H+2x)^{n}\,\!}$

où formellement la n- ième puissance de H , H ⁿ , est le n -ième nombre d'Hermite, H _n . (Voir Calcul ombral .)

Remarques