Le vingt-quatrième problème de Hilbert - Hilbert's twenty-fourth problem

Le vingt-quatrième problème de Hilbert est un problème mathématique qui n'a pas été publié dans le cadre de la liste des 23 problèmes connus sous le nom de problèmes de Hilbert, mais qui a été inclus dans les notes originales de David Hilbert . Le problème demande un critère de simplicité dans les preuves mathématiques et le développement d'une théorie de la preuve avec le pouvoir de prouver qu'une preuve donnée est la plus simple possible.

Le 24e problème a été redécouvert par l'historien allemand Rüdiger Thiele en 2000, notant que Hilbert n'a pas inclus le 24e problème dans la conférence présentant les problèmes de Hilbert ou des textes publiés. Les amis et collègues mathématiciens de Hilbert, Adolf Hurwitz et Hermann Minkowski, étaient étroitement impliqués dans le projet, mais n'avaient aucune connaissance de ce problème.

Ceci est le texte intégral des notes de Hilbert données dans l'article de Rüdiger Thiele. La section a été traduite par Rüdiger Thiele.

Le 24e problème de ma conférence à Paris devait être: Critères de simplicité, ou preuve de la plus grande simplicité de certaines preuves. Développer une théorie de la méthode de preuve en mathématiques en général. Dans un ensemble donné de conditions, il ne peut y avoir qu'une seule preuve. En général, s'il y a deux preuves pour un théorème, vous devez continuer jusqu'à ce que vous ayez dérivé l'une de l'autre, ou jusqu'à ce qu'il devienne tout à fait évident quelles conditions variantes (et aides) ont été utilisées dans les deux preuves. Étant donné deux itinéraires, il n'est pas juste de prendre l'un de ces deux ou d'en chercher un troisième; il est nécessaire d'étudier la zone située entre les deux itinéraires. Les tentatives pour juger de la simplicité d'une preuve se trouvent dans mon examen des syzygies et des syzygies [Hilbert a mal orthographié le mot syzygies] entre les syzygies (voir Hilbert 42, cours XXXII – XXXIX). L'utilisation ou la connaissance d'une syzygie simplifie de manière essentielle la preuve qu'une certaine identité est vraie. Parce que tout processus d'addition [est] une application de la loi commutative d'addition etc. [et parce que] cela correspond toujours à des théorèmes géométriques ou à des conclusions logiques, on peut compter ces [processus], et, par exemple, en prouvant certains théorèmes de géométrie élémentaire (le théorème de Pythagore, [théorèmes] sur des points remarquables de triangles), on peut très bien décider laquelle des preuves est la plus simple. [Note de l'auteur: Une partie de la dernière phrase est non seulement à peine lisible dans le cahier de Hilbert, mais aussi grammaticalement incorrecte. Les corrections et les insertions faites par Hilbert dans cette entrée montrent qu'il a noté le problème à la hâte.]

-  David Hilbert, le vingt-quatrième problème de Hilbert Rüdiger Thiele, American Mathematical Monthly , janvier 2003

En 2002, Thiele et Larry Wos ont publié un article sur le problème des vingt-quatre de Hilbert avec une discussion sur sa relation avec divers problèmes dans le raisonnement automatisé , la logique et les mathématiques.

Références