métrique de Hilbert - Hilbert metric

En mathématiques , la métrique de Hilbert , également connue sous le nom de métrique projective de Hilbert , est une fonction de distance explicitement définie sur un sous - ensemble convexe borné de l' espace euclidien à n dimensions R ⁿ . Il a été introduit par David Hilbert  ( 1895 ) comme une généralisation de la formule de Cayley pour la distance dans le modèle de Cayley-Klein de géométrie hyperbolique , où l'ensemble convexe est la boule unité ouverte de dimension n . La métrique de Hilbert a été appliquée à la théorie de Perron-Frobenius et à la construction d' espaces hyperboliques de Gromov .

Définition

Soit Ω un domaine ouvert convexe dans un espace euclidien qui ne contient pas de droite. Étant donné deux points distincts A et B de Ω, soit X et Y les points auxquels la droite AB coupe la frontière de Ω, où l'ordre des points est X , A , B , Y . Alors la distance de Hilbert d ( A ,  B ) est le logarithme du rapport croisé de ce quadruple de points :

${\displaystyle d(A,B)=\log \left({\frac {|YA|}{|YB|}}{\frac {|XB|}{|XA|}}\right).}$

La fonction d est étendue à toutes les paires de points en laissant d ( A ,  A ) = 0 et définit une métrique sur Ω. Si l'un des points A et B se trouve sur la frontière de Ω, alors d peut être formellement défini comme étant +∞, correspondant à un cas limite de la formule ci-dessus lorsque l'un des dénominateurs est zéro.

Une variante de cette construction se présente pour un cône convexe fermé K dans un espace de Banach V (éventuellement de dimension infinie). De plus, le cône K est supposé pointu , c'est-à-dire K  ∩ (− K ) = {0} et donc K détermine un ordre partiel sur V . Etant donné tous les vecteurs v et w dans K  \ {0}, on définit d'abord ${\displaystyle \leq _{K}}$

${\displaystyle M(v/w)=\inf\{\lambda :v\leq _{K}\lambda w\},\quad m(v/w)=\sup\{\mu :\mu w\ leq _{K}v\}.}$

La pseudométrique de Hilbert sur K  \ {0} est alors définie par la formule

${\displaystyle d(v,w)=\log {\frac {M(v/w)}{m(v/w)}}.}$

Elle est invariante sous la remise à l'échelle de v et w par des constantes positives et descend ainsi à une métrique sur l'espace des rayons de K , qui s'interprète comme la projectivisation de K (pour que d soit fini, il faut se restreindre à la intérieur de K ). En outre, si K  ⊂  R  ×  V est le cône sur un ensemble convexe Ω,

${\displaystyle K=\{(t,tx):t\in \mathbb {R} ,x\in \Omega \},}$

alors l'espace des rayons de K est canoniquement isomorphe à . Si v et w sont des vecteurs en rayons dans K correspondant aux points A ,  B  Ω alors ces deux formules pour d donnent la même valeur de la distance.

Exemples

• Dans le cas où le domaine Ω est une boule unité dans R ⁿ , la formule pour d coïncide avec l'expression de la distance entre les points dans le modèle de Cayley-Klein de géométrie hyperbolique , à une constante multiplicative près.
• Si le cône K est l' orthante positive dans R ⁿ alors la métrique induite sur la projectivisation de K est souvent appelée simplement métrique projective de Hilbert . Ce cône correspond à un domaine Ω qui est un simplexe régulier de dimension  n  − 1.

Motivations et candidatures

• Hilbert a introduit sa métrique afin de construire une géométrie métrique axiomatique dans laquelle il existe des triangles ABC dont les sommets A , B , C ne sont pas colinéaires , pourtant l'un des côtés est égal à la somme des deux autres — il s'ensuit que le plus court chemin la connexion de deux points n'est pas unique dans cette géométrie. En particulier, cela se produit lorsque l'ensemble convexe est un triangle euclidien et que les prolongements en ligne droite des segments AB , BC , AC ne rencontrent pas l'intérieur d'un des côtés de Ω.
• Garrett Birkhoff a utilisé la métrique de Hilbert et le principe de contraction de Banach pour dériver le théorème de Perron-Frobenius en algèbre linéaire de dimension finie et ses analogues pour les opérateurs intégraux à noyaux positifs. Les idées de Birkhoff ont été développées et utilisées pour établir diverses généralisations non linéaires du théorème de Perron-Frobenius, qui ont trouvé des utilisations importantes en informatique, en biologie mathématique, en théorie des jeux, en théorie des systèmes dynamiques et en théorie ergodique.
• En généralisant les résultats antérieurs d'Anders Karlsson et de Guennadi Noskov, Yves Benoist a déterminé un système de conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un domaine convexe borné dans R ⁿ , doté de sa métrique de Hilbert, soit un espace hyperbolique de Gromov .

Les références

• Yves Benoist, Convexes hyperboliques et fonctions quasisymétriques , Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. N° 97 (2003), 181-237
• Garrett Birkhoff , Extensions du théorème de Jentzsch , Trans. Amer. Math. Soc. 85 (1957), 219-227
• Nielsen, Franck ; Sun, Ke (2017), "Clustering in Hilbert simplex geometry", arXiv : 1704.00454 [ cs.LG ]
• Nielsen, Franck ; Shao, Laëtitia (2017), On Balls in a Hilbert Polygonal Geometry , 77 , LIPics-Leibniz International Proceedings in Informatics (SoCG)
• PJ Bushell, Cartographies de contraction métriques et positives de Hilbert dans un espace de Banach , Arch. Méca Rationnel. Anal. 52 (1973), 330-338
• Hilbert, David (1895), "Ueber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte" , Mathematische Annalen , Springer Berlin / Heidelberg, 46 : 91-96, doi : 10.1007/BF02096204 , ISSN  0025-5831 , JFM  26.0540.02
• Papadopoulos, Athanase; Troyanov, Marc (2014), Handbook of Hilbert Geometry , European Mathematical Society
• Bas Lemmens et Roger Nussbaum, Théorie non linéaire de Perron-Frobenius , Cambridge Tracts in Mathematics 189, Cambridge Univ. Presse, 2012.