Test de ligne horizontale - Horizontal line test
En mathématiques , le test de la ligne horizontale est un test utilisé pour déterminer si une fonction est injective (c'est-à-dire un-à-un).
En calcul
Une ligne horizontale est une ligne droite et plate qui va de gauche à droite. Étant donné une fonction (c'est-à-dire des nombres réels aux nombres réels), nous pouvons décider si elle est injective en regardant les lignes horizontales qui coupent le graphe de la fonction . Si une ligne horizontale coupe le graphique en plus d'un point, la fonction n'est pas injective. Pour voir cela, notez que les points d'intersection ont la même valeur y (car ils se trouvent sur la ligne ) mais des valeurs x différentes, ce qui par définition signifie que la fonction ne peut pas être injective.
 Réussit le test (injectif) |
 Échoue le test (non injectif) |
Des variations du test de ligne horizontale peuvent être utilisées pour déterminer si une fonction est surjective ou bijective :
- La fonction f est surjective (c'est-à-dire sur) si et seulement si son graphe coupe une ligne horizontale au moins une fois.
- f est bijective si et seulement si une ligne horizontale coupe le graphe exactement une fois.
En théorie des ensembles
Considérons une fonction avec son graphe correspondant comme un sous-ensemble du produit cartésien . Tenez compte des lignes horizontales : . La fonction f est injective si et seulement si chaque ligne horizontale coupe au plus une fois le graphe. Dans ce cas, on dit que le graphique réussit le test de la ligne horizontale. Si une ligne horizontale coupe le graphique plus d'une fois, la fonction échoue au test de la ligne horizontale et n'est pas injective.
