Symbole non logique - Non-logical symbol
En logique , les langages formels utilisés pour créer des expressions sont constitués de symboles , qui peuvent être largement divisés en constantes et variables . Les constantes d'une langue peuvent en outre être divisées en symboles logiques et symboles non logiques (parfois également appelés constantes logiques et non logiques ).
Les symboles non logiques d'un langage de logique du premier ordre sont constitués de prédicats et de constantes individuelles. Ceux-ci incluent des symboles qui, dans une interprétation, peuvent représenter des constantes, des variables , des fonctions ou des prédicats individuels . Un langage de logique de premier ordre est un langage formel sur l'alphabet constitué de ses symboles non logiques et de ses symboles logiques . Ces derniers incluent des connecteurs logiques , des quantificateurs et des variables qui représentent des déclarations .
Un symbole non logique n'a de sens ou de contenu sémantique que lorsque l'on lui est assigné au moyen d'une interprétation . Par conséquent, une phrase contenant un symbole non logique n'a pas de sens sauf dans le cadre d'une interprétation, de sorte qu'une phrase est dite vraie ou fausse selon une interprétation . Ces concepts sont définis et discutés dans l' article sur la logique du premier ordre , et en particulier la section sur la syntaxe .
Les constantes logiques , en revanche, ont la même signification dans toutes les interprétations. Ils comprennent les symboles des connecteurs fonctionnels de vérité (tels que "et", "ou", "pas", "implique" et l'équivalence logique ) et les symboles des quantificateurs "pour tous" et "il existe".
Le symbole d' égalité est parfois traité comme un symbole non logique et parfois traité comme un symbole de logique. S'il est traité comme un symbole logique, alors toute interprétation sera nécessaire pour interpréter le signe d'égalité en utilisant la vraie égalité; s'il est interprété comme un symbole non logique, il peut être interprété par une relation d'équivalence arbitraire .
Signatures
Une signature est un ensemble de constantes non logiques avec des informations supplémentaires identifiant chaque symbole soit comme un symbole constant, soit comme un symbole de fonction d'une arité spécifique n (un nombre naturel), soit comme un symbole de relation d'une arité spécifique. Les informations supplémentaires contrôlent la manière dont les symboles non logiques peuvent être utilisés pour former des termes et des formules. Par exemple, si f est un symbole de fonction binaire et c est un symbole constant, alors f ( x , c ) est un terme, mais c ( x , f ) n'est pas un terme. Les symboles de relation ne peuvent pas être utilisés dans des termes, mais ils peuvent être utilisés pour combiner un ou plusieurs termes (selon l'arité) dans une formule atomique.
Par exemple, une signature peut être constituée d'un symbole de fonction binaire +, d'un symbole constant 0 et d'un symbole de relation binaire <.
Des modèles
Les structures sur une signature, également appelées modèles , fournissent une sémantique formelle à une signature et le langage de premier ordre dessus.
Une structure sur une signature consiste en un ensemble D , connu comme le domaine du discours , avec des interprétations des symboles non logiques: chaque symbole constant est interprété par un élément de D , et l'interprétation d'un symbole de fonction n -ary est une fonction n -aire sur D , c'est-à-dire une fonction D n → D du produit cartésien n- fois du domaine au domaine lui-même. Tout symbole de relation n -ary est interprété par une relation n -ary sur le domaine, c'est-à-dire par un sous-ensemble de D n .
Un exemple de structure sur la signature mentionnée ci-dessus est le groupe ordonné d' entiers . Son domaine est l'ensemble = {…, –2, –1, 0, 1, 2,…} d'entiers. Le symbole de la fonction binaire + est interprété par addition, le symbole constant 0 par l'identité additive et le symbole de relation binaire <par la relation inférieure à.
Sémantique informelle
En dehors d'un contexte mathématique, il est souvent plus approprié de travailler avec des interprétations plus informelles.
Signes descriptifs
Rudolf Carnap a introduit une terminologie distinguant les symboles logiques et non logiques (qu'il appelait signes descriptifs ) d'un système formel sous un certain type d' interprétation , défini par ce qu'ils décrivent dans le monde.
Un signe descriptif est défini comme tout symbole d'un langage formel qui désigne des choses ou des processus dans le monde, ou des propriétés ou des relations de choses. Cela contraste avec les signes logiques qui ne désignent rien dans le monde des objets. L'utilisation des signes logiques est déterminée par les règles logiques de la langue, alors que le sens est arbitrairement attaché aux signes descriptifs lorsqu'ils sont appliqués à un domaine donné d'individus.
Voir également
Références
- Remarques
- Hinman, P. (2005), Fondamentaux de la logique mathématique , AK Peters , ISBN 978-1-56881-262-5
Liens externes
- Section sémantique dans la logique classique (une entrée de l'Encyclopédie de Stanford de la philosophie )