Générateur infinitésimal (processus stochastiques) - Infinitesimal generator (stochastic processes)

En mathématiques , en particulier en analyse stochastique , le générateur infinitésimal d'un processus de Feller (c'est-à-dire un processus de Markov en temps continu satisfaisant certaines conditions de régularité) est un opérateur multiplicateur de Fourier qui code une grande quantité d'informations sur le processus. Le générateur est utilisé dans les équations d'évolution telles que l' équation inverse de Kolmogorov (qui décrit l'évolution des statistiques du processus) ; son adjoint hermitien L ² est utilisé dans les équations d'évolution telles que l'équation de Fokker-Planck (qui décrit l'évolution des fonctions de densité de probabilité du processus).

Définition

Cas général

Pour un processus de Feller avec un semi - groupe de Feller et un espace d'état, nous définissons le générateur par ${\style d'affichage (X_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle T=(T_{t})_{t\geq 0}}$${\style d'affichage E}$${\style d'affichage (A,D(A))}$

${\displaystyle D(A)=\left\{f\in C_{\infty }(E):\lim _{t\downarrow 0}{\frac {T_{t}ff}{t}}{\text { existe en tant que limite uniforme}}\right\}}$,

${\displaystyle Af=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {T_{t}ff}{t}},\quad \forall f\in D(A).}$ Où désigne l'espace de Banach des fonctions continues s'annulant à l'infini, muni de la norme supremum et . En général, il n'est pas facile de décrire le domaine du générateur de Feller mais il est toujours fermé et densément défini. Si est une valeur et contient les fonctions de test (fonctions lisses supportées de manière compacte) alors ${\displaystyle C_{\infty }(E)}$${\style d'affichage E}$${\displaystyle T_{t}f(x)=\mathbb {E} ^{x}f(X_{t})=\mathbb {E} (f(X_{t})|X_{0}=x) }$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\style d'affichage D(A)}$

${\displaystyle Af(x)=-c(x)f(x)+l(x)\cdot \nabla f(x)+{\frac {1}{2}}{\text{div}}Q( x)\nabla f(x)+\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus {\{0\}}}\left(f(x+y)-f(x)-\nabla f (x)\cdot y\chi (|y|)\right)N(x,dy)}$ où est pour fixé un triplet de Lévy . ${\displaystyle c(x)\geq 0,(l(x),Q(x),N(x,\cdot ))}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

Processus Lévy

Le générateur de semi-groupe de Lévy est de la forme

${\displaystyle Af(x)=l\cdot \nabla f(x)+{\frac {1}{2}}{\text{div}}Q\nabla f(x)+\int _{\mathbb { R} ^{d}\setminus {\{0\}}}\left(f(x+y)-f(x)-\nabla f(x)\cdot y\chi (|y|)\right) \nu (dy)}$

où est semi-définie positive et est une mesure de Lévy satisfaisant ${\displaystyle l\in \mathbb {R} ^{d},Q\in \mathbb {R} ^{d\times d}}$${\style d'affichage \nu }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}\min(|y|^{2},1)\nu (dy)<\infty }$et pour certains avec est délimité. Si on définit ${\displaystyle 0\leq 1-\chi (s)\leq \kappa \min(s,1)}$${\displaystyle \kappa >0}$${\displaystyle s\chi (s)}$

${\displaystyle \psi (\xi )=\psi (0)-il\cdot \xi +{\frac {1}{2}}\xi \cdot Q\xi +\int _{\mathbb {R} ^ {d}\setminus {\{0\}}}(1-e^{iy\cdot \xi }+i\xi \cdot y\chi (|y|))\nu (dy)}$

car alors le générateur peut être écrit comme ${\style d'affichage \psi (0)\geq 0}$

${\displaystyle Af(x)=-\int e^{ix\cdot \xi }\psi (\xi ){\hat {f}}(\xi )d\xi }$

où désigne la transformée de Fourier. Ainsi le générateur d'un processus de Lévy (ou semi-groupe) est un opérateur multiplicateur de Fourier de symbole . ${\displaystyle {\hat {f}}}$${\style d'affichage -\psi }$

Équations différentielles stochastiques pilotées par les processus de Lévy

Soit un processus de Lévy avec symbole (voir ci-dessus). Soit localement Lipschitz et borné. La solution du SDE existe pour chaque condition initiale déterministe et donne un processus de Feller de symbole${\styletexte L}$${\style d'affichage \psi }$${\style d'affichage \Phi }$${\displaystyle dX_{t}=\Phi (X_{t-})dL_{t}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle q(x,\xi )=\psi (\Phi ^{\top }(x)\xi ).}$

Notez qu'en général, la solution d'un SDE piloté par un processus Feller qui n'est pas Lévy peut ne pas être Feller ou même Markovien.

À titre d'exemple simple, considérons un bruit de conduite de mouvement brownien. Si nous supposons que sont Lipschitz et de croissance linéaire, alors pour chaque condition initiale déterministe il existe une solution unique, qui est Feller avec le symbole ${\textstyle dX_{t}=l(X_{t})dt+\sigma (X_{t})dW_{t}}$${\displaystyle l,\sigma }$

${\displaystyle q(x,\xi )=-il(x)\cdot \xi +{\frac {1}{2}}\xi Q(x)\xi .}$

Générateurs de quelques processus communs

• Pour les chaînes de Markov en temps continu à états finis, le générateur peut être exprimé sous la forme d'une matrice de taux de transition
• Le mouvement brownien standard sur , qui satisfait l' équation différentielle stochastique , a une génératrice , où désigne l' opérateur de Laplace .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dX_{t}=dB_{t}}$${\textstyle {1 \over {2}}\Delta }$${\style d'affichage \Delta }$
• Le processus bidimensionnel satisfaisant :${\style d'affichage Y}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}={\mathrm {d} t \choisissez \mathrm {d} B_{t}}}$

où est un mouvement brownien unidimensionnel, peut être considéré comme le graphique de ce mouvement brownien, et a un générateur :${\style d'affichage B}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partiel ^{2}f}{\partiel x^{2}}}(t,x)}$

• Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck sur , qui satisfait l'équation différentielle stochastique , a pour générateur :${\displaystyle \mathbb {R} }$${\textstyle dX_{t}=\theta (\mu -X_{t})dt+\sigma dB_{t}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\theta (\mu -x)f'(x)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}f''(x) }$

• De même, le graphe du processus Ornstein-Uhlenbeck a générateur :

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)+\theta (\mu -x){\frac {\ partiel f}{\partial x}}(t,x)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2} }}(t,x)}$

• Un mouvement brownien géométrique sur , qui satisfait l'équation différentielle stochastique , a pour générateur :${\displaystyle \mathbb {R} }$${\textstyle dX_{t}=rX_{t}dt+\alpha X_{t}dB_{t}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=rxf'(x)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}x^{2}f''(x)}$

Voir également

• La formule de Dynkin

Les références

• Calin, Ovidiu (2015). Une introduction informelle au calcul stochastique avec des applications . Singapour : édition scientifique mondiale. p. 315. ISBN 978-981-4678-93-3. (Voir chapitre 9)
• Øksendal, Bernt K. (2003). Équations différentielles stochastiques : Une introduction avec des applications (le sixième rédacteur). Berlin : Springer. doi : 10.1007/978-3-642-14394-6 . ISBN 3-540-04758-1. (Voir la section 7.3)