Forme quadratique isotrope - Isotropic quadratic form

En mathématiques, une forme quadratique sur un corps F est dite isotrope s'il existe un vecteur non nul sur lequel la forme est évaluée à zéro. Sinon la forme quadratique est anisotrope . Plus précisément, si q est une forme quadratique sur un espace vectoriel V sur F , alors un vecteur non nul v dans V est dit isotrope si q ( v ) = 0 . Une forme quadratique est isotrope si et seulement s'il existe un vecteur isotrope non nul (ou vecteur nul ) pour cette forme quadratique.

Supposons que ( V , q ) est un espace quadratique et W est un sous - espace . Alors W est appelé un sous - espace isotrope de V si un vecteur y est isotrope, un sous - espace totalement isotrope si tous les vecteurs qu'il contient sont isotropes et un sous - espace anisotrope s'il ne contient aucun vecteur isotrope (non nul). le l'indice d'isotropie d'un espace quadratique est le maximum des dimensions des sous-espaces totalement isotropes.

Une forme quadratique q sur un espace vectoriel réel de dimension finie V est anisotrope si et seulement si q est une forme définie :

  • soit q est défini positif , c'est-à-dire q ( v ) > 0 pour tout v non nul dans V  ;
  • ou q est défini négatif , c'est-à-dire q ( v ) < 0 pour tout v non nul dans V .

Plus généralement, si la forme quadratique est non dégénérée et a la signature ( a , b ) , alors son indice d'isotropie est le minimum de a et b . Un exemple important d'une forme isotrope sur les réels se produit dans l' espace pseudo-euclidien .

Plan hyperbolique

A ne pas confondre avec le plan en géométrie hyperbolique .

Soit F un corps de caractéristique non 2 et V = F 2 . Si nous considérons l'élément général ( x , y ) de V , alors les formes quadratiques q = xy et r = x 2 − y 2 sont équivalentes puisqu'il y a une transformation linéaire sur V qui fait que q ressemble à r , et vice versa. Évidemment, ( V , q ) et ( V , r ) sont isotropes. Cet exemple est appelé le plan hyperbolique dans la théorie des formes quadratiques . Une instance courante a F = nombres réels auquel cas { x ∈ V  : q ( x ) = constante non nulle} et { x ∈ V  : r ( x ) = constante non nulle} sont des hyperboles . En particulier, { x ∈ V  : r ( x ) = 1} est l' unité hyperbole . La notation ⟨1⟩ ⊕ ⟨−1⟩ a été utilisée par Milnor et Husemoller pour le plan hyperbolique car les signes des termes du polynôme bivarié r sont présentés.

Le plan hyperbolique affine a été décrit par Emil Artin comme un espace quadratique de base { M , N } satisfaisant M 2 = N 2 = 0, NM = 1 , où les produits représentent la forme quadratique.

Par l' identité de polarisation la forme quadratique est liée à une forme bilinéaire symétrique B ( u , v ) = 1/4( q ( u + v ) − q ( u − v )) .

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux lorsque B ( u , v ) = 0 . Dans le cas du plan hyperbolique, tels u et v sont hyperboliques-orthogonaux .

Espace quadratique divisé

Un espace de forme quadratique est scindé (ou métabolique ) s'il existe un sous-espace qui est égal à son propre complément orthogonal ; de manière équivalente, l'indice d'isotropie est égal à la moitié de la dimension. Le plan hyperbolique en est un exemple, et sur un champ de caractéristique non égal à 2, chaque espace scindé est une somme directe de plans hyperboliques.

Relation avec la classification des formes quadratiques

Du point de vue de la classification des formes quadratiques, les espaces anisotropes sont les blocs de construction de base pour les espaces quadratiques de dimensions arbitraires. Pour un domaine général F , la classification des formes quadratiques anisotropes est un problème non trivial. En revanche, les formes isotropes sont généralement beaucoup plus faciles à manipuler. D'après le théorème de décomposition de Witt , chaque espace de produit interne sur un champ est une somme directe orthogonale d'un espace divisé et d'un espace anisotrope.

Théorie des champs

  • Si F est un corps algébriquement clos , par exemple le corps des nombres complexes , et ( V , q ) est un espace quadratique de dimension au moins deux, alors il est isotrope.
  • Si F est un corps fini et ( V , q ) est un espace quadratique de dimension au moins trois, alors il est isotrope (c'est une conséquence du théorème de Chevalley-Warning ).
  • Si F est le corps Q p de nombres p -adiques et ( V , q ) est un espace quadratique de dimension au moins cinq, alors il est isotrope.

Voir également

Les références