Groupe Witt - Witt group

En mathématiques , un groupe de Witt d'un champ , nommé d'après Ernst Witt , est un groupe abélien dont les éléments sont représentés par des formes bilinéaires symétriques sur le champ.

Définition

Fixez un champ k de caractéristique non égal à deux. Tous les espaces vectoriels seront supposés être de dimension finie . On dit que deux espaces équipés de formes bilinéaires symétriques sont équivalents si l'un peut être obtenu de l'autre en ajoutant un espace quadratique métabolique , c'est-à-dire zéro ou plusieurs copies d'un plan hyperbolique , la forme bilinéaire symétrique bidimensionnelle non dégénérée avec un vecteur de norme 0. Chaque classe est représentée par la forme centrale d'une décomposition de Witt .

Le groupe de Witt de k est le groupe abélien W ( k ) des classes d'équivalence des formes bilinéaires symétriques non dégénérées, l'opération de groupe correspondant à la somme directe orthogonale des formes. Il est généré de manière additive par les classes de formes unidimensionnelles. Bien que les classes puissent contenir des espaces de dimension différente, la parité de la dimension est constante à travers une classe et donc rk: W ( k ) → Z / 2 Z est un homomorphisme .

Les éléments d' ordre fini dans le groupe de Witt ont une puissance d'ordre 2; le sous - groupe de torsion est le noyau de l'application fonctorielle de W ( k ) à W ( k ^py ), où k ^py est la fermeture pythagoricienne de k ; il est généré par les formes Pfister avec une somme de carrés non nulle. Si k n'est pas formellement réel , alors le groupe de Witt est une torsion , avec l' exposant une puissance de 2. La hauteur du champ k est l'exposant de la torsion dans le groupe de Witt, si celle-ci est finie, ou ∞ sinon. ${\ displaystyle \ langle \! \ langle w \ rangle \! \ rangle = \ langle 1, -w \ rangle}$${\ displaystyle w}$

Structure en anneau

Le groupe de Witt de k peut recevoir une structure d' anneau commutative , en utilisant le produit tensoriel de formes quadratiques pour définir le produit d'anneau. Ceci est parfois appelé l' anneau de Witt W ( k ), bien que le terme «anneau de Witt» soit souvent également utilisé pour un anneau complètement différent de vecteurs de Witt .

Pour discuter de la structure de cet anneau, nous supposons que k est de caractéristique non égale à 2, de sorte que nous pouvons identifier des formes bilinéaires symétriques et des formes quadratiques.

Le noyau de l'homomorphisme de rang mod 2 est un idéal premier , I , de l'anneau de Witt appelé l' idéal fondamental . Les homomorphismes d'anneau de W ( k ) à Z correspondent aux ordres de champ de k , en prenant la signature avec respectivement à l'ordre. La bague Witt est une bague Jacobson . C'est un anneau noéthérien si et seulement s'il existe un nombre fini de classes carrées ; c'est-à-dire si les carrés de k forment un sous - groupe d' indice fini dans le groupe multiplicatif de k .

Si k n'est pas formellement réel, l'idéal fondamental est le seul idéal premier de W et se compose précisément des éléments nilpotents ; W est un anneau local et a la dimension Krull 0.

Si k est réel, alors les éléments nilpotents sont précisément ceux d'ordre additif fini, et ce sont à leur tour les formes dont toutes les signatures sont nulles; W a la dimension Krull 1.

Si k est un vrai champ de Pythagore, alors les diviseurs zéro de W sont les éléments pour lesquels une signature est nulle; sinon, les diviseurs zéro sont exactement l'idéal fondamental.

Si k est un corps ordonné avec cône positif P , puis la loi de Sylvester d'inertie est valable pour les formes quadratiques sur k et la signature définit un homomorphisme d'anneaux à partir de W ( k ) à Z , avec le noyau un idéal premier K _P . Ces idéaux premiers sont en bijection avec les ordres X _k de k et constituent le spectre idéal premier minimal MinSpec  W ( k ) de W ( k ). La bijection est un homéomorphisme entre MinSpec  W ( k ) avec la topologie Zariski et l'ensemble des ordonnances X _k avec la topologie Harrison .

Le n puissance -ième de l'idéal fondamental est généré par le additivement n -fois formes Pfister .

Exemples

• L'anneau de Witt C , et en fait tout corps algébriquement clos ou champ quadratiquement fermé , est Z / 2 Z .
• L'anneau de Witt R est Z .
• L'anneau de Witt d'un corps fini F _q avec q impair est Z / 4 Z si q ≡ 3 mod 4 et isomorphe à l' anneau de groupe ( Z / 2 Z ) [ F * / F * ² ] si q ≡ 1 mod 4.
• L'anneau de Witt d'un champ local d' idéal maximal de norme congruente à 1 modulo 4 est isomorphe à l'anneau de groupe ( Z / 2 Z ) [ V ] où V est le groupe de Klein 4 .
• L'anneau de Witt d'un corps local d'idéal maximal de norme congru à 3 modulo 4 est ( Z / 4 Z ) [ C ₂ ] où C ₂ est un groupe cyclique d'ordre 2.
• L'anneau de Witt de Q ₂ est d'ordre 32 et est donné par

${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {8} [s, t] / \ langle 2s, 2t, s ^ ​​{2}, t ^ {2}, st-4 \ rangle.}$

Invariants

Certains invariants d'une forme quadratique peuvent être considérés comme des fonctions sur les classes de Witt. Nous avons vu que la dimension mod 2 est une fonction sur les classes: le discriminant est également bien défini. L' invariant de Hasse d'une forme quadratique est à nouveau une fonction bien définie sur les classes de Witt avec des valeurs dans le groupe de Brauer du champ de définition.

Rang et discriminant

On définit un anneau sur K , Q ( K ), comme un ensemble de couples ( d ,  e ) avec d en K * / K * ² et e dans Z / 2 Z . L'addition et la multiplication sont définies par:

${\ displaystyle (d_ {1}, e_ {1}) + (d_ {2}, e_ {2}) = ((- 1) ^ {e_ {1} e_ {2}} d_ {1} d_ {2 }, e_ {1} + e_ {2})}$

${\ displaystyle (d_ {1}, e_ {1}) \ cdot (d_ {2}, e_ {2}) = (d_ {1} ^ {e_ {2}} d_ {2} ^ {e_ {1} }, e_ {1} e_ {2}).}$

Ensuite, il y a un homomorphisme en anneau surjectif de W ( K ) à celui-ci obtenu en mappant une classe au discriminant et au rang mod 2. Le noyau est I ² . Les éléments de Q peuvent être considérés comme la classification à gradient extensions quadratiques de K .

Groupe Brauer – Wall

Le triple du discriminant, rang mod 2 et invariant de Hasse définit une application de W ( K ) au groupe de Brauer – Wall BW ( K ).

Anneau de Witt d'un champ local

Soit K soit un total champ local avec évaluation v , π et uniformiser champ résidu k de caractéristique non égal à 2. Il y a une injection W ( k ) → W ( K ) qui soulève la forme diagonale ⟨ un ₁ , ... a _n ⟩ à ⟨ u ₁ , ... u _n ⟩ où u _i est une unité de K avec l' image d' un _i en k . Cela donne

${\ Displaystyle W (K) = W (k) \ oplus \ langle \ pi \ rangle \ cdot W (k)}$

identifier W ( k ) avec son image en W ( K ).

Witt anneau d'un champ numérique

Soit K un champ numérique . Pour les formes quadratiques sur K , il existe un invariant de Hasse ± 1 pour tout lieu fini correspondant aux symboles de Hilbert . Les invariants d'une forme sur un champ numérique sont précisément la dimension, discriminante, tous les invariants de Hasse locaux et les signatures provenant de plongements réels.

On définit l' anneau de symboles sur K , Sym ( K ), comme un ensemble de triplets ( d , e , f  ) avec d dans K * / K * ² , e dans Z / 2 et f une suite d'éléments ± 1 indexés par les places de K , sous la condition que tous les termes de f sauf un nombre fini sont +1, que la valeur sur les lieux complexes est +1 et que le produit de tous les termes de f en +1. Soit [ a , b ] la suite des symboles de Hilbert: elle satisfait les conditions sur f juste énoncées.

Nous définissons l'addition et la multiplication comme suit:

${\ displaystyle (d_ {1}, e_ {1}, f_ {1}) + (d_ {2}, e_ {2}, f_ {2}) = ((- 1) ^ {e_ {1} e_ { 2}} d_ {1} d_ {2}, e_ {1} + e_ {2}, [d_ {1}, d_ {2}] [- d_ {1} d_ {2}, (- 1) ^ { e_ {1} e_ {2}}] f_ {1} f_ {2})}$

${\ displaystyle (d_ {1}, e_ {1}, f_ {1}) \ cdot (d_ {2}, e_ {2}, f_ {2}) = (d_ {1} ^ {e_ {2}} d_ {2} ^ {e_ {1}}, e_ {1} e_ {2}, [d_ {1}, d_ {2}] ^ {1 + e_ {1} e_ {2}} f_ {1} ^ {e_ {2}} f_ {2} ^ {e_ {1}}) \.}$

Ensuite, il y a un homomorphisme en anneau surjectif de W ( K ) à Sym ( K ) obtenu en mappant une classe en discriminant, rang mod 2, et la séquence des invariants de Hasse. Le noyau est I ³ .

La bague symbole est une réalisation du groupe Brauer-Wall.

Anneau d'esprit des rationnels

Le théorème de Hasse – Minkowski implique qu'il y a une injection

${\ displaystyle W (\ mathbf {Q}) \ rightarrow W (\ mathbf {R}) \ oplus \ prod _ {p} W (\ mathbf {Q} _ {p}) \.}$

Nous rendons cela concret, et calculons l'image, en utilisant le "second homomorphisme résiduel" W ( Q _p ) → W ( F _p ). Composé de l'application W ( Q ) → W ( Q _p ) on obtient un homomorphisme de groupe ∂ _p : W ( Q ) → W ( F _p ) (pour p = 2 on définit ∂ ₂ comme la valuation 2-adique du discriminant, pris mod 2).

Nous avons alors une séquence exacte fractionnée

${\ displaystyle 0 \ rightarrow \ mathbf {Z} \ rightarrow W (\ mathbf {Q}) \ rightarrow \ mathbf {Z} / 2 \ oplus \ bigoplus _ {p \ neq 2} W (\ mathbf {F} _ { p}) \ rightarrow 0 \}$

qui peut être écrit comme un isomorphisme

${\ displaystyle W (\ mathbf {Q}) \ cong \ mathbf {Z} \ oplus \ mathbf {Z} / 2 \ oplus \ bigoplus _ {p \ neq 2} W (\ mathbf {F} _ {p}) \}$

où le premier composant est la signature.

Anneau de Witt et théorie K de Milnor

Soit k un corps de caractéristique non égal à 2. Les puissances de l'idéal I des formes de dimension paire («idéal fondamental») sous forme de filtration descendante et on peut considérer l' anneau gradué associé , c'est-à-dire la somme directe des quotients . Soit la forme quadratique considérée comme un élément de l'anneau de Witt. Alors est un élément de I et en conséquence un produit de la forme ${\ displaystyle W (k)}$${\ Displaystyle I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$${\ displaystyle \ langle a \ rangle}$${\ Displaystyle ax ^ {2}}$${\ displaystyle \ langle a \ rangle - \ langle 1 \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle \ langle a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ rangle \ rangle = (\ langle a_ {1} \ rangle - \ langle 1 \ rangle) \ cdots (\ langle a_ {n} \ rangle - \ langle 1 \ rangle)}$

est un élément de John Milnor dans un article de 1970 a prouvé que le mappage de à qui envoie à est multilinéaire et mappe les éléments de Steinberg (éléments tels que pour certains et tels que l' on a ) à zéro. Cela signifie que cette cartographie définit un homomorphisme de l' anneau de Milnor de k à l'anneau de Witt gradué. Milnor a montré aussi que cet homomorphisme envoie des éléments divisibles par 2 à zéro et qu'il est surjectif. Dans le même article, il a fait une conjecture que cet homomorphisme est un isomorphisme pour tous les champs k (de caractéristique différente de 2). Ceci est devenu connu sous le nom de conjecture de Milnor sur les formes quadratiques. ${\ Displaystyle I ^ {n}.}$ ${\ displaystyle (k ^ {*}) ^ {n}}$${\ Displaystyle I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$${\ displaystyle \ langle \ langle a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ rangle \ rangle}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle i \ neq j}$${\ displaystyle a_ {i} + a_ {j} = 1}$

La conjecture a été prouvée par Dmitry Orlov, Alexander Vishik et Vladimir Voevodsky en 1996 (publié en 2007) pour le cas , conduisant à une meilleure compréhension de la structure des formes quadratiques sur des champs arbitraires. ${\ displaystyle {\ textrm {char}} (k) = 0}$

Bague Grothendieck-Witt

L' anneau de Grothendieck-Witt GW est une construction connexe générée par des classes d'isométrie d'espaces quadratiques non singuliers avec addition donnée par somme orthogonale et multiplication donnée par produit tensoriel. Puisque deux espaces qui diffèrent par un plan hyperbolique ne sont pas identifiés dans GW , l'inverse de l'addition doit être introduit formellement par la construction qui a été découverte par Grothendieck (voir le groupe de Grothendieck ). Il existe un homomorphisme naturel GW → Z donné par dimension: un champ est quadratiquement fermé si et seulement s'il s'agit d'un isomorphisme. Les espaces hyperboliques génèrent un idéal en GW et l'anneau de Witt W est le quotient. La puissance extérieure confère à l'anneau de Grothendieck-Witt la structure supplémentaire d'un anneau λ .

Exemples

• L'anneau Grothendieck-Witt de C , et en fait tout domaine fermé algébriquement ou champ quadratiquement fermé , est Z .
• Le cycle de Grothendieck-Witt de R est isomorphe au cycle de groupe Z [ C ₂ ], où C ₂ est un groupe cyclique d'ordre 2.
• L'anneau de Grothendieck-Witt de tout champ fini de caractéristique impaire est Z ⊕ Z / 2 Z avec une multiplication triviale dans la deuxième composante. L'élément (1, 0) correspond à la forme quadratique ⟨ un de⟩ où un est un pas carré dans le corps fini.
• L'anneau de Grothendieck-Witt d'un champ local d'idéal maximal de norme congru à 1 modulo 4 est isomorphe à Z ⊕ ( Z / 2 Z ) ³ .
• L'anneau Grothendieck-Witt d'un champ local avec idéal maximal de congruent norme à 3 modulo 4 , il est Z » ⊕ Z / 4 Z ⊕ Z / 2 Z .

Anneau de Grothendieck-Witt et groupes d'homotopie stables motiviques de sphères

Fabien Morel a montré que l'anneau de Grothendieck-Witt d'un champ parfait est isomorphe au groupe d'homotopie stable motivique des sphères π _0,0 (S ^0,0 ) (voir " A¹ théorie de l'homotopie ").

Équivalence de Witt

On dit que deux champs sont équivalents à Witt si leurs anneaux de Witt sont isomorphes.

Pour les champs globaux, il y a un principe local-à-global: deux champs globaux sont équivalents de Witt si et seulement s'il y a une bijection entre leurs places telle que les champs locaux correspondants sont équivalents à Witt. En particulier, deux champs de nombres K et L sont équivalents de Witt si et seulement s'il existe une bijection T entre les lieux de K et les lieux de L et un isomorphisme de groupe t entre leurs groupes de classe carrée , en préservant les symboles de Hilbert de degré 2. Dans ce cas, la paire ( T , t ) est appelée une équivalence de réciprocité ou une équivalence de symbole Hilbert de degré 2 . Certaines variations et extensions de cette condition, telles que « l' équivalence du symbole de Hilbert de degré d'apprivoisement », ont également été étudiées.

Généralisations

Witt groupes peuvent également être définis de la même façon pour les formes antisymétriques , et pour les formes quadratiques , et plus généralement les formes ε-quadratique , sur toute * -ring R .

Les groupes résultants (et généralisations) sont connues sous le même dimensions symétrique L -groupes L ^{2 k} ( R ) et quadratique même dimension L -groupes L _{2 k} ( R ). Les groupes L quadratiques sont 4-périodiques, L ₀ ( R ) étant le groupe de Witt des formes (1) -quadratiques (symétriques), et L ₂ ( R ) étant le groupe de Witt des formes quadratiques (-1) ( asymétrique); les groupes L symétriques ne sont pas 4-périodiques pour tous les anneaux, ils fournissent donc une généralisation moins exacte.

Les groupes L sont des objets centraux dans la théorie de la chirurgie , formant l'un des trois termes de la séquence exacte de la chirurgie .

Voir également

• Réduction de la hauteur d'un champ

Remarques

Les références

• Conner, Pierre E .; Perlis, Robert (1984). Une enquête sur les formes de trace des champs de nombres algébriques . Série en mathématiques pures. 2 . Monde scientifique. ISBN   9971-966-05-0 . Zbl   0551.10017 .
• Garibaldi, Skip ; Merkurjev, Alexander ; Serre, Jean-Pierre (2003). Invariants cohomologiques en cohomologie galoisienne . Série de conférences universitaires. 28 . Providence, RI: Société mathématique américaine . ISBN   0-8218-3287-5 . Zbl   1159.12311 .
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction aux formes quadratiques sur les champs . Études supérieures en mathématiques . 67 . Société mathématique américaine. ISBN   0-8218-1095-2 . MR   2104929 . Zbl   1068.11023 .
• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (troisième édition révisée), New York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-95385-4 , MR   1878556 , Zbl   0984.00001
• Lorenz, Falko (2008). Algèbre. Volume II: Champs avec structure, algèbres et sujets avancés . Springer. ISBN   978-0-387-72487-4 . Zbl   1130.12001 .
• Milnor, John ; Husemoller, Dale (1973). Formes bilinéaires symétriques . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73 . Springer-Verlag . ISBN   3-540-06009-X . Zbl   0292.10016 .
• Witt, Ernst (1936), "Theorie der quadratischen Formen in believebigen Korpern", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 176 (3): 31–44, Zbl   0015.05701

Lectures complémentaires

• Balmer, Paul (2005). "Groupes Witt". Dans Friedlander, Eric M .; Grayson, DR (éd.). Manuel de K- théorie . 2 . Springer-Verlag . 539-579. ISBN   3-540-23019-X . Zbl   1115.19004 .

Liens externes

• Witt sonne dans l'encyclopédie Springer des mathématiques