Continuum linéaire - Linear continuum

Dans le domaine mathématique de la théorie des ordres , un continuum ou continuum linéaire est une généralisation de la droite réelle .

Formellement, un continuum linéaire est un ensemble S linéairement ordonné de plus d'un élément qui est densément ordonné , c'est-à-dire qu'entre deux éléments distincts, il y en a un autre (et donc une infinité d'autres), et complet , c'est-à-dire qui "manque de lacunes" dans le sens que chaque sous- ensemble non vide avec une borne supérieure a une borne inférieure . Plus symboliquement:

  1. S a la propriété de la borne supérieure la plus faible , et
  2. Pour chaque x dans S et chaque y dans S avec x < y , il existe z dans S tel que x < z < y

Un ensemble a la propriété de limite supérieure la plus faible, si chaque sous-ensemble non vide de l'ensemble qui est délimité ci-dessus a une limite supérieure la plus faible. Les continuums linéaires sont particulièrement importants dans le domaine de la topologie où ils peuvent être utilisés pour vérifier si un ensemble ordonné étant donné la topologie d'ordre est connecté ou non.

Contrairement à la ligne réelle standard, un continuum linéaire peut être borné de chaque côté: par exemple, tout intervalle fermé (réel) est un continuum linéaire.

Exemples

  • L'ensemble ordonné de nombres réels , R , avec son ordre habituel est un continuum linéaire, et est l'exemple archétypal. La propriété b) est triviale et la propriété a) est simplement une reformulation de l' axiome d'exhaustivité .

Exemples en plus des nombres réels:

π 1 ( x , y ) = x
Cette carte est connue sous le nom de carte de projection . La carte de projection est continue (par rapport à la topologie du produit sur I × I ) et est surjective . Soit A un sous-ensemble non vide de I × I qui est borné ci-dessus. Considérons π 1 ( A ). Puisque A est borné au-dessus, π 1 ( A ) doit également être borné au-dessus. Puisque, π 1 ( A ) est un sous-ensemble de I , il doit avoir une borne supérieure la moins élevée (puisque I a la propriété la plus faible borne supérieure). Par conséquent, nous pouvons laisser b la plus petite borne supérieure de π 1 ( A ). Si b appartient à tc 1 ( A ), puis b × je croisera A à dire b × c pour certains c ∈ I . Notez que depuis b × I a le même type d' ordre de I , l'ensemble ( b × I ) ∩ A sera en effet avoir une borne supérieure b × c » , qui est la limite supérieure souhaitée moins de A .
Si b n'appartient pas à π 1 ( A ), alors b × 0 est la plus petite borne supérieure de A , car si d < b , et d × e est une borne supérieure de A , alors d serait une borne supérieure plus petite de π 1 ( A ) que b , contredisant la propriété unique de b .

Non-exemples

  • L'ensemble ordonné Q des nombres rationnels n'est pas un continuum linéaire. Même si la propriété b) est satisfaite, la propriété a) ne l'est pas. Considérez le sous-ensemble
A = { x ∈ Q | x < √ 2 }
de l'ensemble des nombres rationnels. Même si cet ensemble est borné ci-dessus par tout nombre rationnel supérieur à √ 2 (par exemple 3), il n'a pas de limite supérieure dans les nombres rationnels. (Plus précisément, pour toute borne supérieure rationnelle r > √ 2 , r / 2 + 1 / r est une borne supérieure rationnelle plus proche; détails à Méthodes de calcul des racines carrées § Méthode babylonienne .)
  • L'ensemble ordonné d' entiers non négatifs avec son ordre habituel n'est pas un continuum linéaire. La propriété a) est satisfaite (soit A un sous-ensemble de l'ensemble des entiers non négatifs qui est borné ci-dessus. Alors A est fini donc il a un maximum, et ce maximum est la moindre borne supérieure souhaitée de A ). En revanche, la propriété b) ne l'est pas. En effet, 5 est un entier non négatif, tout comme 6, mais il n'existe aucun entier non négatif qui se trouve strictement entre eux.
  • L'ensemble ordonné A de nombres réels non nuls
A = (−∞, 0) ∪ (0, + ∞)
n'est pas un continuum linéaire. La propriété b) est satisfaite de manière triviale. Cependant, si B est l'ensemble des nombres réels négatifs:
B = (−∞, 0)
alors B est un sous - ensemble de A qui est délimitée ci - dessus (par un élément quelconque de A supérieur à 0, par exemple 1), mais n'a pas de borne supérieure dans B . Notez que 0 est pas lié à B à partir de 0 constitue pas un élément de A .
  • Soit Z - l'ensemble des entiers négatifs et soit A = (0, 5) ∪ (5, + ∞). Laisser
S = Z - ∪ A .
Alors S ne satisfait ni la propriété a) ni la propriété b). La preuve est similaire aux exemples précédents.

Propriétés topologiques

Même si les continuums linéaires sont importants dans l'étude des ensembles ordonnés , ils ont des applications dans le domaine mathématique de la topologie . En fait, nous prouverons qu'un ensemble ordonné dans la topologie d'ordre est connecté si et seulement s'il s'agit d'un continuum linéaire. Nous allons prouver une implication et laisser l'autre comme un exercice. (Munkres explique la deuxième partie de la preuve dans)

Théorème

Soit X un ensemble ordonné dans la topologie d'ordre. Si X est connecté, alors X est un continuum linéaire.

Preuve:

Supposons que x et y sont des éléments de X avec x < y . S'il n'existe pas de z dans X tel que x < z < y , considérons les ensembles:

A = (−∞, y )
B = ( x , + ∞)

Ces ensembles sont disjoints (si a est dans A , a < y de sorte que si a est dans B , a > x et a < y ce qui est impossible par hypothèse), non vides ( x est dans A et y est dans B ) et ouverts (dans la topologie de l' ordre), et leur union est X . Cela contredit l' interdépendance de X .

Nous prouvons maintenant la propriété la moins élevée. Si C est un sous - ensemble de X qui est délimitée au- dessus et n'a aucune borne supérieure, laisser D soit l'union de tous les rayons ouverts de la forme ( b , + ∞) où b est une borne supérieure pour C . Alors D est ouvert (puisque c'est l'union d'ensembles ouverts), et fermé (si a n'est pas dans D , alors a < b pour toutes les bornes supérieures b de C afin que nous puissions choisir q > a tel que q soit dans C (si un tel q n'existe pas, a est la plus petite borne supérieure de C ), alors un intervalle ouvert contenant a peut être choisi qui ne coupe pas D ). Puisque D est non vide (il y a plus d'une borne supérieure de D car s'il y avait exactement une borne supérieure s , s serait la plus petite borne supérieure. Alors si b 1 et b 2 sont deux bornes supérieures de D avec b 1 < b 2 , b 2 appartiendra à D ), D et son complément forment ensemble une séparation sur X . Cela contredit l' interdépendance de X .

Applications du théorème

  1. Puisque l'ensemble ordonné A = (−∞, 0) U (0, + ∞) n'est pas un continuum linéaire, il est déconnecté.
  2. En appliquant le théorème qui vient d'être prouvé, le fait que R est connexe suit. En fait, tout intervalle (ou rayon) dans R est également connecté.
  3. L'ensemble des nombres entiers n'est pas un continuum linéaire et ne peut donc pas être connecté.
  4. En fait, si un ensemble ordonné dans la topologie d'ordre est un continuum linéaire, il doit être connecté. Comme tout intervalle de cet ensemble est également un continuum linéaire, il s'ensuit que cet espace est connecté localement puisqu'il a une base entièrement constituée d'ensembles connectés.
  5. Pour un exemple d' espace topologique qui est un continuum linéaire, voir longue ligne .

Voir également

Références