Liste des groupes de symétrie planaire - List of planar symmetry groups

Cet article résume les classes de groupes de symétrie discrets du plan euclidien . Les groupes de symétrie sont nommés ici par trois schémas de nommage: notation internationale , orbifold notation et la notation Coxeter . Il existe trois types de groupes de symétrie du plan :

• 2 familles de groupes de rosaces – groupes de points 2D
• 7 groupes de frise – groupes de lignes 2D
• 17 groupes de fonds d'écran – groupes d'espaces 2D .

Groupes de rosaces

Il existe deux familles de groupes de points bidimensionnels discrets, et ils sont spécifiés avec le paramètre n , qui est l'ordre du groupe des rotations dans le groupe.

Famille	Intl ( orbite )	Schön.	Géo Coxeter	Commander	Exemples
Symétrie cyclique	n (n•)	C n	n [n] +	m	C 1 , [ ] + (•)	C 2 , [2] + (2•)	C 3 , [3] + (3•)	Do 4 , [4] + (4•)	C 5 , [5] + (5•)	C 6 , [6] + (6•)
Symétrie dièdre	n m (n * •)	D n	n [n]	2 n	D 1 , [ ] (*•)	D 2 , [2] (*2•)	D 3 , [3] (*3•)	D 4 , [4] (*4•)	D 5 , [5] (*5•)	D 6 , [6] (*6•)

Groupes de frise

Les 7 groupes de frise , les groupes de lignes à deux dimensions , avec une direction de périodicité sont donnés avec cinq noms de notation. La notation de Schönflies est donnée comme limites infinies de 7 groupes dièdres. Les régions jaunes représentent le domaine fondamental infini dans chacune.

[1,∞], IUC ( orbifold ) Géo Schönflies Coxeter Domaine fondamental Exemple p1m1 (*∞•) p1 C v [1,∞] côté p1 (∞•) p 1 C ∞ [1,∞] + sauter [2,∞ + ], IUC (orbifold) Géo Schönflies Coxeter Domaine fondamental Exemple p11m (∞*) p. 1 C h [2,∞ + ] saut p11g (∞×) p. g 1 S 2∞ [2 + ,∞ + ] étape

[2,∞], IUC (orbifold) Géo Schönflies Coxeter Domaine fondamental Exemple p2mm (*22∞) p2 D h [2,∞] saut en rotation p2mg (2*∞) p2 g D d [2 + ,∞] filature p2 (22∞) p 2 D ∞ [2,∞] + houblon de filature

Groupes de papiers peints

Les 17 groupes de papier peint , avec des domaines fondamentaux finis, sont données par la notation internationale , orbifold notation et notation Coxeter , classé par les 5 réseaux de Bravais dans le plan: carré , oblique (parallélogrammatiques), hexagonale (triangulaire équilatéral), rectangulaire (centrée rhombique ) et rhombique (rectangulaire centré).

Les groupes p1 et p2 , sans symétrie de réflexion, sont répétés dans toutes les classes. Le groupe de Coxeter de réflexion pure connexe est donné avec toutes les classes sauf oblique.

Carré [4,4], IUC ( Orb. ) Géo Coxeter Nom de domaine Conway p1 (°) p 1 Monotrope p2 (2222) p 2 [4,1 + ,4] + [1 + ,4,4,1 + ] + Ditropique pgg (22×) p g 2 g [4 + ,4 + ] glisse pm (*2222) p2 [4,1 + ,4] [1 + ,4,4,1 + ] Disscopique cm (2*22) c2 [(4,4,2 + )] dirhombique p4 (442) p 4 [4,4] + Tétratrope p4g (4 * 2) p g 4 [4 + ,4] tétragyre p4m (*442) p4 [4,4] Tétrascopique

Rectangulaire [∞ h ,2,∞ v ], IUC (Orb.) Géo Coxeter Nom de domaine Conway p1 (°) p 1 [∞ + ,2,∞ + ] Monotrope p2 (2222) p 2 [∞,2,∞] + Ditropique pg (h) (××) p g 1 h : [∞ + ,(2,∞) + ] Monoglisse pg (v) (××) p g 1 v : [(∞,2) + ,∞ + ] Monoglisse pgm (22 *) p g 2 h : [(∞,2) + ,∞] Digyro pmg (22*) p g 2 v : [∞,(2,∞) + ] Digyro pm(h) (**) p1 h : [∞ + ,2,∞] Monoscopique pm(v) (**) p1 v : [∞,2,∞ + ] Monoscopique pm (*2222) p2 [∞,2,∞] Disscopique

Rhombique [∞ h ,2 + ,∞ v ], IUC (Orb.) Géo Coxeter Nom de domaine Conway p1 (°) p 1 [∞ + ,2 + ,∞ + ] Monotrope p2 (2222) p 2 [∞,2 + ,∞] + Ditropique cm(h) (*×) c1 h : [∞ + ,2 + ,∞] Monorhombique cm(v) (*×) c1 v : [∞,2 + ,∞ + ] Monorhombique pgg (22×) p g 2 g [((∞,2) + ) [2] ] glisse cm (2*22) c2 [∞,2 + ,∞] dirhombique Parallélogrammatique ( oblique ) p1 (°) p 1 Monotrope p2 (2222) p 2 Ditropique

Hexagonal /Triangulaire [6,3],/ [3 [3] ], IUC (Orb.) Géo Coxeter Nom de domaine Conway p1 (°) p 1 Monotrope p2 (2222) p 2 [6,3] Δ Ditropique cm (2*22) c2 [6,3] ⅄ dirhombique p3 (333) p 3 [1 + ,6,3 + ] [3 [3] ] + Tritrope p3m1 (*333) p3 [1 + ,6,3] [3 [3] ] Triscopique p31m (3*3) h3 [6,3 + ] Trigyre p6 (632) p 6 [6,3] + Hexatrope p6m (*632) p6 [6,3] Hexascopique

Relations de sous-groupe de papier peint

Relations de sous-groupe parmi le groupe des 17 papiers peints

		o	2222	××	**	*×	22×	22*	*2222	2*22	442	4*2	*442	333	*333	3*3	632	*632
		p1	p2	page	après-midi	cm	pgg	pmg	pm	cmm	p4	p4g	p4m	p3	p3m1	p31m	p6	p6m
o	p1	2
2222	p2	2	2	2
××	page	2		2
**	après-midi	2		2	2	2
*×	cm	2		2	2	3
22×	pgg	4	2	2			3
22*	pmg	4	2	2	2	4	2	3
*2222	pm	4	2	4	2	4	4	2	2	2
2*22	cmm	4	2	4	4	2	2	2	2	4
442	p4	4	2								2
4*2	p4g	8	4	4	8	4	2	4	4	2	2	9
*442	p4m	8	4	8	4	4	4	4	2	2	2	2	2
333	p3	3												3
*333	p3m1	6		6	6	3								2	4	3
3*3	p31m	6		6	6	3								2	3	4
632	p6	6	3											2			4
*632	p6m	12	6	12	12	6	6	6	6	3				4	2	2	2	3

Voir également

• Liste des groupes de symétrie sphérique
• Notation orbifold#Plan hyperbolique - Groupes de symétrie hyperbolique

Remarques

Les références

• Les symétries des choses 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN  978-1-56881-220-5 (notation Orbifold pour polyèdres, pavages euclidiens et hyperboliques)
• Sur les quaternions et les octonions , 2003, John Horton Conway et Derek A. Smith ISBN  978-1-56881-134-5
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , édité par F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [2]
  • (Article 22) HSM Coxeter, Polytopes réguliers et semi-réguliers I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Document 23) HSM Coxeter, Polytopes réguliers et semi-réguliers II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Document 24) HSM Coxeter, Polytopes réguliers et semi-réguliers III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980). Générateurs et relations pour les groupes discrets . New York : Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
• NW Johnson : Géométries et transformations , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Chapitre 12: Groupes de symétrie euclidienne

Liens externes

• "Manuscrit de Conway" sur la notation Orbifold (la notation a changé par rapport à cet original, x est maintenant utilisé à la place du point ouvert et o est utilisé à la place du point fermé)
• Les 17 groupes de papiers peints