Groupe dièdre - Dihedral group

Le groupe de symétrie d'un flocon de neige est D ₆ , une symétrie dièdre, la même que pour un hexagone régulier .

En mathématiques , un groupe dièdre est le groupe de symétries d'un polygone régulier , qui inclut les rotations et les réflexions . Les groupes dièdres sont parmi les exemples les plus simples de groupes finis , et ils jouent un rôle important dans la théorie des groupes , la géométrie et la chimie .

La notation du groupe dièdre diffère en géométrie et en algèbre abstraite . En géométrie , $D n$ ou $Dih n$ désigne les symétries du $n$ -gon , un groupe d'ordre $2 n$ . En algèbre abstraite , $D 2 n$ fait référence à ce même groupe dièdre. La convention géométrique est utilisée dans cet article.

Définition

Éléments

Les six axes de réflexion d'un hexagone régulier

Un polygone régulier avec des côtés a différentes symétries : symétries de rotation et symétries de réflexion . Habituellement, nous prenons ici. Les rotations et réflexions associées constituent le groupe dièdre . Si est impair, chaque axe de symétrie relie le milieu d'un côté au sommet opposé. Si est pair, il existe des axes de symétrie reliant les milieux des côtés opposés et des axes de symétrie reliant les sommets opposés. Dans les deux cas, il y a des axes de symétrie et des éléments dans le groupe de symétrie. Une réflexion dans un axe de symétrie suivie d'une réflexion dans un autre axe de symétrie produit une rotation de deux fois l'angle entre les axes. ${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage 2n}$ ${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage n\geq 3}$ $\mathrm {D} _{n}$ ${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage n/2}$ ${\style d'affichage n/2}$ ${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage 2n}$

L'image suivante montre l'effet des seize éléments de sur un panneau d'arrêt : $\mathrm {D} _{8}$

La première ligne montre l'effet des huit rotations et la deuxième ligne montre l'effet des huit réflexions, agissant dans chaque cas sur le panneau d'arrêt avec l'orientation indiquée en haut à gauche.

Structure du groupe

Comme pour tout objet géométrique, la composition de deux symétries d'un polygone régulier est à nouveau une symétrie de cet objet. Avec la composition de symétries pour en produire une autre comme opération binaire, cela donne aux symétries d'un polygone la structure algébrique d'un groupe fini .

Les axes de réflexion notés S ₀ , S ₁ , et S ₂ restent fixes dans l'espace (sur la page) et ne bougent pas eux-mêmes lorsqu'une opération de symétrie (rotation ou réflexion) est effectuée sur le triangle (cela importe lorsqu'on fait des compositions de symétries ).

La composition de ces deux réflexions est une rotation.

Le tableau de Cayley suivant montre l'effet de composition dans le groupe D ₃ (les symétries d'un triangle équilatéral ). r ₀ désigne l'identité ; r ₁ et r ₂ désignent des rotations dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de 120° et 240° respectivement, et s ₀ , s ₁ et s ₂ désignent des réflexions sur les trois lignes montrées dans l'image adjacente.

	r ₀	r ₁	r ₂	s ₀	s ₁	s ₂
r ₀	r ₀	r ₁	r ₂	s ₀	s ₁	s ₂
r ₁	r ₁	r ₂	r ₀	s ₁	s ₂	s ₀
r ₂	r ₂	r ₀	r ₁	s ₂	s ₀	s ₁
s ₀	s ₀	s ₂	s ₁	r ₀	r ₂	r ₁
s ₁	s ₁	s ₀	s ₂	r ₁	r ₀	r ₂
s ₂	s ₂	s ₁	s ₀	r ₂	r ₁	r ₀

Par exemple, s ₂ s ₁ = r ₁ , car la réflexion s ₁ suivie de la réflexion s ₂ entraîne une rotation de 120°. L'ordre des éléments indiquant la composition est de droite à gauche, reflétant la convention selon laquelle l'élément agit sur l'expression à sa droite. L'opération de composition n'est pas commutative .

En général, le groupe D _n a des éléments r ₀ , ..., r _{n -1} et s ₀ , ..., s _{n -1} , de composition donnée par les formules suivantes :

\mathrm {r} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{i+j},\quad \mathrm {r} _{i}\,\ mathrm {s} _{j}=\mathrm {s} _{i+j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {s} _ {ij},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{ij}.

Dans tous les cas, l'addition et la soustraction d'indices doivent être effectuées en utilisant l'arithmétique modulaire de module n .

Représentation matricielle

Les symétries de ce pentagone sont des transformations linéaires du plan en espace vectoriel.

Si nous centrons le polygone régulier à l'origine, alors les éléments du groupe dièdre agissent comme des transformations linéaires du plan . Cela nous permet de représenter les éléments de D _n sous forme de matrices , la composition étant la multiplication matricielle . Ceci est un exemple de représentation de groupe (2 dimensions) .

Par exemple, les éléments du groupe D ₄ peuvent être représentés par les huit matrices suivantes :

{\begin{matrix}\mathrm {r} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm { r} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{2}=\left( {\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\ [0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right),\\[1em]\mathrm {s} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1 \end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\ mathrm {s} _{2}=\gauche({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{3}=\left ({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right).\end{matrix}}

En général, les matrices pour les éléments de D _n ont la forme suivante :

{\begin{aligned}\mathrm {r} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2 \pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ { \text{and}}\\\mathrm {s} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{ aligné}}

r _k est une matrice de rotation , exprimant une rotation dans le sens antihoraire sur un angle de 2 k / n . s _k est une réflexion sur une ligne qui fait un angle de k / n avec l' axe des x .

Autres définitions

D'autres définitions équivalentes de $D n$ sont :

Le groupe d'automorphismes du graphe constitué uniquement d'un cycle à n sommets (si n 3).
Le groupe avec présentation
${\begin{aligned}\mathrm {D} _{n}&=\left\langle \mathrm {r} ,\mathrm {s} \mid \operatorname {ord} (\mathrm {r} )= n,\operatorname {ord} (\mathrm {s} )=2,\mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1}\right\rangle \\&=\left\langle \mathrm {r, s} \mid \mathrm {r} ^{n}=\mathrm {s} ^{2}=(\mathrm {sr} )^{2}=1\right\rangle .\end{aligned}}$
De la seconde présentation découle que $D n$ appartient à la classe des groupes de Coxeter .
Le produit semi-direct des groupes cycliques $Z n$ et $Z 2$ , avec $Z 2$ agissant sur $Z n$ par inversion (ainsi, $D n a$ toujours un sous-groupe normal isomorphe au groupe $Z n$ ). Z _n ⋊ _φ Z ₂ est isomorphe à $D n$ si $φ (0)$ est l' identité et $φ (1)$ est inversion.

Petits groupes dièdres

Exemple de sous-groupes d'une symétrie dièdre hexagonale

$D 1$ est isomorphe à $Z 2$ , le groupe cyclique d'ordre 2.

$D 2$ est isomorphe à $K 4$ , le groupe des quatre de Klein .

$D 1$ et $D 2$ sont exceptionnels en ce que :

$D 1$ et $D 2$ sont les seuls groupes dièdres abéliens . Sinon, $D n$ est non abélien.
$D n$ est un sous - groupe du groupe symétrique $S n$ pour $n 3$ . Depuis $2 n > n!$ pour $n = 1$ ou $n = 2$ , pour ces valeurs, $D n$ est trop grand pour être un sous-groupe.
Le groupe d'automorphisme interne de $D 2$ est trivial, alors que pour les autres valeurs paires de $n$ , il s'agit de $D n / Z 2$ .

Les graphes cycliques des groupes dièdres se composent d'un cycle à n éléments et de n cycles à 2 éléments. Le sommet sombre dans les graphiques cycliques ci-dessous de divers groupes dièdres représente l'élément d'identité, et les autres sommets sont les autres éléments du groupe. Un cycle consiste en des puissances successives de l'un ou l'autre des éléments reliés à l' élément d'identité .

Graphiques cycliques
D ₁ = Z ₂	D ₂ = Z ₂² = K ₄	D ₃	J ₄	D ₅


D ₆ = D ₃ × Z ₂	D ₇	J ₈	J ₉	D ₁₀ = D ₅ × Z ₂

D ₃ = S ₃	J ₄

Le groupe dièdre comme groupe de symétrie en 2D et groupe de rotation en 3D

Un exemple de groupe abstrait $D n$ , et une façon courante de le visualiser, est le groupe des isométries planes euclidiennes qui gardent l'origine fixe. Ces groupes forment l'une des deux séries de groupes ponctuels discrets en deux dimensions . $D n se$ compose de $n$ rotations de multiples de $360°/ n$ autour de l'origine, et de réflexions sur $n$ lignes passant par l'origine, faisant des angles de multiples de $180°/ n les$ uns avec les autres. C'est le groupe de symétrie d'un polygone régulier à $n$ côtés (pour $n 3$ ; cela s'étend aux cas $n = 1$ et $n = 2$ où l'on a un plan avec respectivement un point décalé par rapport au "centre" du "1- gon" et un "2-gon" ou segment de ligne).

$D n$ est engendré par une rotation $r$ d' ordre $n$ et une réflexion $s$ d'ordre 2 telles que

\mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1}\,

En termes géométriques : dans le miroir, une rotation ressemble à une rotation inverse.

En termes de nombres complexes : multiplication par et conjugaison complexe . $e^{2\pi i \over n}$

Sous forme matricielle, en fixant

\mathrm {r} _{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[4pt]\sin {2 \pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {s} _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{ bmatrice}}

et définir et pour nous pouvons écrire les règles de produit pour D _n comme $\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{1}^{j}$ $\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{0}$ $j\in \{1,\ldots ,n-1\}$

{\begin{aligned}\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {r} _{(j+k){\text{ mod }} n}\\\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {s} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\ mathrm {s} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {s} _{(jk){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j }\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {r} _{(jk){\text{ mod }}n}\end{aligned}}

(Comparez les rotations de coordonnées et les réflexions .)

Le groupe dièdre D ₂ est généré par la rotation r de 180 degrés et la réflexion s sur l' axe x . Les éléments de D ₂ peuvent alors être représentés par {e, r, s, rs}, où e est l'identité ou la transformation nulle et rs est la réflexion sur l' axe y .

Les quatre éléments de D ₂ (l'axe des x est vertical ici)

D ₂ est isomorphe au quatre-groupe de Klein .

Pour n > 2 les opérations de rotation et de réflexion en général ne commutent pas et D _n n'est pas abélien ; par exemple, en D ₄ , une rotation de 90 degrés suivie d'une réflexion donne un résultat différent d'une réflexion suivie d'une rotation de 90 degrés.

D ₄ est non abélien (l'axe des x est vertical ici).

Ainsi, au-delà de leur application évidente aux problèmes de symétrie dans le plan, ces groupes sont parmi les exemples les plus simples de groupes non abéliens, et en tant que tels apparaissent fréquemment comme des contre-exemples faciles à des théorèmes qui se limitent aux groupes abéliens.

Les $2 n$ éléments de $D n$ peuvent être écrits comme $e$ , $r$ , $r 2$ , ... , $r n -1$ , $s$ , $rs$ , $r 2 s$ , ... , $r n -1 s$ . Les $n$ premiers éléments répertoriés sont des rotations et les $n$ éléments restants sont des axes-réflexions (tous d'ordre 2). Le produit de deux rotations ou de deux réflexions est une rotation ; le produit d'une rotation et d'une réflexion est une réflexion.

Jusqu'ici, nous avons considéré $D n$ comme un sous - groupe de $O(2)$ , c'est-à-dire le groupe des rotations (autour de l'origine) et des réflexions (à travers les axes passant par l'origine) du plan. Cependant, la notation $D n$ est aussi utilisée pour un sous-groupe de SO(3) qui est aussi de type groupe abstrait $D n$ : le groupe de symétrie propre d'un polygone régulier plongé dans un espace à trois dimensions (si n 3). Une telle figure peut être considérée comme un solide régulier dégénéré dont la face compte deux fois. Par conséquent, on l'appelle aussi un dièdre (grec : solide à deux faces), ce qui explique le nom de groupe dièdre (par analogie aux groupes tétraédriques , octaédriques et icosaédriques , faisant référence aux groupes de symétrie propres d'un tétraèdre régulier , d'un octaèdre et d'un icosaèdre respectivement ).

Exemples de symétrie dièdre 2D

Symétrie 2D D ₆ – L'étoile rouge de David
Symétrie 2D D ₁₆ – Sceau impérial du Japon, représentant un chrysanthème octuple à seize pétales .
Symétrie 2D D ₂₄ - Ashoka Chakra , comme représenté sur le drapeau national de la République de l'Inde .

Propriétés

Les propriétés des groupes dièdres $D n$ avec $n 3$ dépendent de si $n$ est pair ou impair. Par exemple, le centre de $D n$ n'est constitué que de l'identité si n est impair, mais si n est pair le centre a deux éléments, à savoir l'identité et l'élément r ^{n /2} (avec D _n comme sous-groupe de O(2 ), c'est l' inversion ; puisqu'il s'agit d'une multiplication scalaire par −1, il est clair qu'elle commute avec n'importe quelle transformation linéaire).

Dans le cas des isométries 2D, cela correspond à l'ajout d'inversion, donnant des rotations et des miroirs entre ceux existants.

Pour n deux fois un nombre impair, le groupe abstrait $D n$ est isomorphe avec le produit direct de $D n / 2$ et $Z 2$ . Généralement, si m divise n , alors $D n$ a n / m sous - groupes de type $D m$ , et un sous-groupe ℤ _m . Par conséquent, le nombre total de sous-groupes de $D n$ ( n 1) est égal à d ( n ) + ( n ), où d ( n ) est le nombre de diviseurs positifs de n et σ ( n ) est la somme des diviseurs positifs de n . Voir liste des petits groupes pour les cas n 8.

Le groupe dièdre d'ordre 8 (D ₄ ) est le plus petit exemple d'un groupe qui n'est pas un groupe T . N'importe lequel de ses deux sous - groupes à quatre groupes de Klein (qui sont normaux en D ₄ ) a comme sous-groupe normal d'ordre 2 sous-groupes générés par une réflexion (flip) en D ₄ , mais ces sous-groupes ne sont pas normaux en D ₄ .

Classes de réflexions de conjugaison

Toutes les réflexions sont conjuguées les unes aux autres dans le cas où n est impair, mais elles tombent dans deux classes de conjugaison si n est pair. Si l'on pense aux isométries d'un n -gon régulier : pour n impair il y a des rotations dans le groupe entre chaque paire de miroirs, alors que pour n pair seulement la moitié des miroirs peut être atteinte à partir d'un par ces rotations. Géométriquement, dans un polygone impair tout axe de symétrie passe par un sommet et un côté, tandis que dans un polygone pair il y a deux ensembles d'axes, chacun correspondant à une classe de conjugaison : ceux qui passent par deux sommets et ceux qui passent par deux côtés .

Algébriquement, c'est une instance du théorème de Sylow conjugué (pour n impair) : pour n impair, chaque réflexion, avec l'identité, forme un sous-groupe d'ordre 2, qui est un sous-groupe de Sylow 2- ( 2 = 2 ¹ est le puissance maximale de 2 divisant 2 n = 2[2 k + 1] ), alors que pour n pair, ces sous-groupes d'ordre 2 ne sont pas des sous-groupes de Sylow car 4 (une puissance supérieure de 2) divise l'ordre du groupe.

Pour n même, il existe à la place un automorphisme externe échangeant les deux types de réflexions (à proprement parler, une classe d'automorphismes externes, qui sont tous conjugués par un automorphisme interne).

Groupe Automorphisme

Le groupe d'automorphismes de $D n$ est isomorphe à l' holomorphe de ℤ/ n , c'est-à-dire à Hol(ℤ/ n ℤ) = { ax + b | ( a , n ) = 1} et est d'ordre nϕ ( n ), où ϕ est la fonction totient d' Euler , le nombre de k dans 1, …, n − 1 premier à n .

On peut l'appréhender en termes de générateurs d'une réflexion et d'une rotation élémentaire (rotation par k (2 π / n ), pour k premiers à n ) ; quels automorphismes sont internes et externes dépend de la parité de n .

Pour n impair, le groupe dièdre est sans centre, donc tout élément définit un automorphisme interne non trivial ; pour n pair, la rotation de 180° (réflexion par l'origine) est l'élément non trivial du centre.
Ainsi pour n impair, le groupe d'automorphisme interne a l'ordre 2 n , et pour n pair (autre que n = 2 ) le groupe d'automorphisme interne a l'ordre n .
Pour n impair, toutes les réflexions sont conjuguées ; pour n même, ils se divisent en deux classes (ceux à travers deux sommets et ceux à travers deux faces), liées par un automorphisme extérieur, qui peut être représenté par une rotation π / n ( la moitié de la rotation minimale).
Les rotations sont un sous-groupe normal ; la conjugaison par réflexion change le signe (direction) de la rotation, mais les laisse autrement inchangés. Ainsi, les automorphismes qui multiplient les angles par k (premiers avec n ) sont extérieurs à moins que k = ±1 .

Exemples de groupes d'automorphismes

$D 9$ a 18 automorphismes internes . En tant que groupe d'isométrie 2D D ₉ , le groupe a des miroirs espacés de 20°. Les 18 automorphismes internes assurent la rotation des miroirs par multiples de 20°, et les réflexions. En tant que groupe d'isométrie, ce sont tous des automorphismes. Comme groupe abstrait, il y a en plus de ceux-ci, 36 automorphismes externes ; par exemple, multiplier les angles de rotation par 2.

$D 10$ a 10 automorphismes internes. En tant que groupe d'isométrie 2D D ₁₀ , le groupe a des miroirs à intervalles de 18°. Les 10 automorphismes internes assurent la rotation des miroirs par multiples de 36°, et les réflexions. Comme groupe d'isométrie, il y a 10 autres automorphismes ; ils sont conjugués par des isométries extérieures au groupe, faisant pivoter les miroirs de 18° par rapport aux automorphismes internes. Comme groupe abstrait, il y a en plus de ces 10 automorphismes internes et 10 externes, 20 autres automorphismes externes ; par exemple, multiplier les rotations par 3.

Comparez les valeurs 6 et 4 pour la fonction totient d'Euler , le groupe multiplicatif d'entiers modulo n pour n = 9 et 10, respectivement. Cela triple et double le nombre d'automorphismes par rapport aux deux automorphismes en tant qu'isométries (en gardant l'ordre des rotations le même ou en inversant l'ordre).

Les seules valeurs de n pour lesquelles φ ( n ) = 2 sont 3, 4 et 6, et par conséquent, il n'y a que trois groupes dièdres isomorphes à leurs propres groupes d'automorphisme, à savoir $D 3$ (ordre 6), $D 4$ ( ordre 8) et $D 6$ (ordre 12).

Groupe d'automorphisme interne

Le groupe d'automorphisme interne de $D n$ est isomorphe à :

$D n$ si n est impair ;
$D n / Z 2$ si $n$ est pair (pour $n = 2$ , $D 2 / Z 2 = 1$ ).

Généralisations

Il existe plusieurs généralisations importantes des groupes dièdres :

Le groupe dièdre infini est un groupe infini avec une structure algébrique similaire aux groupes dièdres finis. Il peut être considéré comme le groupe de symétries des nombres entiers .
Le groupe orthogonal O(2), c'est-à-dire le groupe de symétrie du cercle , a également des propriétés similaires aux groupes dièdres.
La famille des groupes dièdres généralisés comprend les deux exemples ci-dessus, ainsi que de nombreux autres groupes.
Les groupes quasi-dièdres sont une famille de groupes finis avec des propriétés similaires aux groupes dièdres.

Voir également

Les références

Liens externes

Groupe dièdre n d'ordre 2n par Shawn Dudzik, Wolfram Demonstrations Project .
Groupe dièdre chez Groupprops
Weisstein, Eric W. "Groupe dièdre" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Dièdre Groupe D3" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Dièdre Groupe D4" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Dièdre Groupe D5" . MathWorld .
Davis, Declan. "Groupe dièdre D6" . MathWorld .
Groupes dièdres sur GroupNames

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