Stabilité marginale - Marginal stability
Dans la théorie des systèmes dynamiques et la théorie du contrôle , un système linéaire invariant dans le temps est marginalement stable s'il n'est ni asymptotiquement stable ni instable . En gros, un système est stable s'il revient toujours et reste près d'un état particulier (appelé état stationnaire ), et est instable s'il s'éloigne de plus en plus d'un état, sans être borné. Un système marginal, parfois qualifié de stabilité neutre, se situe entre ces deux types: lorsqu'il est déplacé, il ne revient pas à un état stationnaire proche et ne s'éloigne pas de son point de départ sans limite.
La stabilité marginale, comme l'instabilité, est une caractéristique que la théorie du contrôle cherche à éviter; nous souhaitons que, lorsqu'il est perturbé par une force extérieure, un système revienne à un état souhaité. Cela nécessite l'utilisation d'algorithmes de contrôle conçus de manière appropriée.
En économétrie , la présence d'une racine unitaire dans les séries chronologiques observées , les rendant marginalement stables, peut conduire à des résultats de régression invalides concernant les effets des variables indépendantes sur une variable dépendante , à moins que des techniques appropriées ne soient utilisées pour convertir le système en un système stable.
Temps continu
Un système linéaire continu homogène invariant dans le temps est marginalement stable si et seulement si la partie réelle de chaque pôle ( valeur propre ) dans la fonction de transfert du système est non positive , un ou plusieurs pôles ont une partie réelle nulle et une partie imaginaire non nulle, et tous les pôles avec une partie réelle nulle sont des racines simples (c'est-à-dire que les pôles sur l' axe imaginaire sont tous distincts les uns des autres). En revanche, si tous les pôles ont des parties réelles strictement négatives, le système est au contraire asymptotiquement stable. Si un ou plusieurs pôles ont des parties réelles positives, le système est instable.
Si le système est en représentation d'espace d'états , la stabilité marginale peut être analysée en dérivant la forme normale de Jordan : si et seulement si les blocs de Jordan correspondant aux pôles avec une partie réelle nulle sont scalaires, le système est marginalement stable.
Temps discret
Un système invariant dans le temps linéaire en temps discret homogène est marginalement stable si et seulement si la plus grande magnitude de l'un des pôles (valeurs propres) de la fonction de transfert est 1, et les pôles de magnitude égale à 1 sont tous distincts. Autrement dit, le rayon spectral de la fonction de transfert est 1. Si le rayon spectral est inférieur à 1, le système est plutôt asymptotiquement stable.
Un exemple simple implique une seule équation de différence linéaire du premier ordre : Supposons qu'une variable d'état x évolue selon
avec le paramètre a > 0. Si le système est perturbé à la valeur sa suite de valeurs est Si a <1, ces nombres se rapprochent de plus en plus de 0 quelle que soit la valeur de départ tandis que si a > 1 les nombres deviennent de plus en plus grands sans bondir. Mais si a = 1, les nombres ne font ni l'un ni l'autre: au lieu de cela, toutes les valeurs futures de x sont égales à la valeur. Ainsi, le cas a = 1 présente une stabilité marginale.
Réponse du système
Un système marginalement stable est un système qui, s'il est donné une impulsion de grandeur finie comme entrée, ne «explosera» pas et ne donnera pas une sortie illimitée, mais la sortie ne reviendra pas non plus à zéro. Un décalage borné ou des oscillations dans la sortie persisteront indéfiniment, et il n'y aura donc en général pas de sortie finale en régime permanent. Si un système continu reçoit une entrée à une fréquence égale à la fréquence d'un pôle avec une partie réelle nulle, la sortie du système augmentera indéfiniment (c'est ce qu'on appelle la résonance pure). Ceci explique pourquoi pour qu'un système soit stable au BIBO , les parties réelles des pôles doivent être strictement négatives (et pas seulement non positives).
Un système continu ayant des pôles imaginaires, c'est-à-dire n'ayant aucune partie réelle dans le ou les pôles, produira des oscillations soutenues dans la sortie. Par exemple, un système de second ordre non amorti tel que le système de suspension dans une automobile (un système masse-ressort-amortisseur ), dont l'amortisseur a été retiré et le ressort est idéal, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de frottement, oscillera en théorie pour toujours. une fois dérangé. Un autre exemple est un pendule sans friction . Un système avec un pôle à l'origine est également marginalement stable mais dans ce cas il n'y aura pas d'oscillation dans la réponse car la partie imaginaire est également nulle ( jw = 0 signifie w = 0 rad / s). Un exemple d'un tel système est une masse sur une surface avec frottement. Lorsqu'une impulsion latérale est appliquée, la masse se déplace et ne revient jamais à zéro. Cependant, la masse s'arrêtera en raison du frottement et le mouvement latéral restera limité.
Étant donné que les emplacements des pôles marginaux doivent être exactement sur l'axe imaginaire ou le cercle unitaire (pour les systèmes à temps continu et à temps discret respectivement) pour qu'un système soit marginalement stable, il est peu probable que cette situation se produise en pratique à moins que la stabilité marginale ne soit une théorie inhérente. caractéristique du système.
Dynamique stochastique
La stabilité marginale est également un concept important dans le contexte de la dynamique stochastique . Par exemple, certains processus peuvent suivre une marche aléatoire , donnée en temps discret comme
où est un terme d'erreur iid . Cette équation a une racine unitaire (une valeur de 1 pour la valeur propre de son équation caractéristique ) et présente donc une stabilité marginale, de sorte que des techniques de séries chronologiques spéciales doivent être utilisées pour modéliser empiriquement un système contenant une telle équation.
