Équation de différence linéaire - Linear difference equation

En mathématiques et en particulier dans les systèmes dynamiques , une équation aux différences linéaires ou une relation de récurrence linéaire fixe à 0 un polynôme qui est linéaire dans les différents itérations d'une variable, c'est- à- dire dans les valeurs des éléments d'une séquence . La linéarité du polynôme signifie que chacun de ses termes a le degré 0 ou 1. Habituellement, le contexte est l'évolution d'une variable au fil du temps, avec la période actuelle ou le moment discret noté $t$ , une période plus tôt notée $t - 1$ , une période plus tard comme $t + 1$ , etc.

Une équation de différence linéaire d'ordre $n$ est une équation qui peut être écrite en termes de paramètres $a 1, \dots, a n$ et $b$ comme

y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{tn}+b,

ou équivalent comme

y_{t+n}=a_{1}y_{t+n-1}+\cdots +a_{n}y_{t}+b.

L'équation est dite homogène si $b = 0$ et non homogène si $b 0$ . Étant donné que le délai le plus long entre itère apparaissant dans l'équation est $n$ , c'est une $n$ ième équation d'ordre, où $n$ pourrait être positif tout entier . Lorsque le décalage le plus long est spécifié numériquement afin que $n$ n'apparaisse pas notationnellement comme le décalage temporel le plus long, $n$ est parfois utilisé à la place de $t$ pour indexer les itérations.

Dans le cas le plus général, les coefficients $a i$ et $b$ pourraient eux-mêmes être des fonctions de $t$ ; cependant, cet article traite le cas le plus courant, celui des coefficients constants. Si les coefficients $a i$ sont des polynômes dans $t$ l'équation est appelée une équation de récurrence linéaire avec des coefficients polynomiaux .

La solution d'une telle équation est fonction de $t$ , et non d'aucune valeur itérée, donnant la valeur de l'itération à tout moment. Pour trouver la solution, il est nécessaire de connaître les valeurs spécifiques (appelées conditions initiales ) de $n$ des itérés, et normalement ce sont les $n$ itérés les plus anciens. L'équation ou sa variable est dite stable si, à partir de n'importe quel ensemble de conditions initiales, la limite de la variable lorsque le temps tend vers l'infini existe ; cette limite est appelée l' état stationnaire .

Les équations aux différences sont utilisées dans divers contextes , par exemple en économie pour modéliser l' évolution dans le temps de variables telles que le produit intérieur brut , le taux d' inflation , le taux de change , etc. Elles sont utilisées dans la modélisation de telles séries chronologiques parce que les valeurs de ces les variables ne sont mesurées qu'à intervalles discrets. Dans les applications économétriques , les équations aux différences linéaires sont modélisées avec des termes stochastiques sous la forme de modèles autorégressifs (AR) et dans des modèles tels que les modèles d'autorégression vectorielle (VAR) et de moyenne mobile autorégressive (ARMA) qui combinent AR avec d'autres caractéristiques.

Solution de cas homogène

Équation caractéristique et racines

Résoudre l'équation homogène

x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{tn}

consiste d'abord à résoudre son équation caractéristique

\lambda ^{n}=a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-2}\lambda ^{2}+a_{n-1}\lambda +a_{ n}

pour ses racines caractéristiques $λ 1, ..., λ n$ . Ces racines peuvent être résolues algébriquement si $n 4$ , mais pas nécessairement autrement . Si la solution doit être utilisée numériquement, toutes les racines de cette équation caractéristique peuvent être trouvées par des méthodes numériques . Cependant, pour une utilisation dans un contexte théorique, il se peut que la seule information requise sur les racines soit de savoir si l'une d'entre elles est supérieure ou égale à 1 en valeur absolue .

Il se peut que toutes les racines soient réelles ou qu'à la place certaines d'entre elles soient des nombres complexes . Dans ce dernier cas, toutes les racines complexes viennent en paires conjuguées complexes .

Solution avec des racines caractéristiques distinctes

Si toutes les racines caractéristiques sont distinctes, la solution de l'équation de différence linéaire homogène

x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{tn}

peut être écrit en termes de racines caractéristiques comme

x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\lambda _{n}^{t}

où les coefficients $c i$ peuvent être trouvés en invoquant les conditions initiales. Plus précisément, pour chaque période de temps pour laquelle une valeur itérée est connue, cette valeur et sa valeur correspondante de $t$ peuvent être substituées dans l'équation solution pour obtenir une équation linéaire dans les $n$ paramètres encore inconnus ; $n de$ telles équations, une pour chaque condition initiale, peuvent être résolues simultanément pour les $n$ valeurs de paramètres. Si toutes les racines caractéristiques sont réelles, toutes les valeurs des coefficients $c i$ seront également vrai; mais avec des racines complexes non réelles, en général certains de ces coefficients seront également non réels.

Conversion d'une solution complexe en forme trigonométrique

S'il y a des racines complexes, elles viennent par paires conjuguées, de même que les termes complexes dans l'équation de solution. Si deux de ces termes complexes sont $c j λ t j$ et $c j 1 λ t j +1$ , les racines $λ j$ peuvent s'écrire sous la forme

\lambda _{j},\lambda _{j+1}=\alpha \pm \beta i=M\left({\frac {\alpha }{M}}\pm {\frac {\beta }{M}}je\bien)

où $i$ est l' unité imaginaire et $M$ est le module des racines :

M={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.

Alors les deux termes complexes dans l'équation solution peuvent être écrits comme

{\begin{aligned}c_{j}\lambda _{j}^{t}+c_{j+1}\lambda _{j+1}^{t}&=M^{t}\ gauche(c_{j}\gauche({\frac {\alpha }{M}}+{\frac {\beta }{M}}i\droit)^{t}+c_{j+1}\gauche( {\frac {\alpha }{M}}-{\frac {\beta }{M}}i\right)^{t}\right)\\[6pt]&=M^{t}\left(c_ {j}\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)^{t}+c_{j+1}\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)^{t} \right)\\[6pt]&=M^{t}{\bigl (}c_{j}\left(\cos \theta t+i\sin \theta t\right)+c_{j+1}\ gauche(\cos \theta ti\sin \theta t\right){\bigr )}\end{aligned}}

où $θ$ est l'angle dont le cosinus est $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ??/M$ et dont le sinus est $?? / M$ ; la dernière égalité fait ici usage de la formule de de Moivre .

Maintenant, le processus de recherche des coefficients $c j$ et $c j +1$ garantit qu'ils sont également des conjugués complexes, qui peuvent s'écrire sous la forme $γ \pm δi$ . L'utiliser dans la dernière équation donne cette expression pour les deux termes complexes de l'équation de solution :

2M^{t}\left(\gamma \cos \theta t-\delta \sin \theta t\right)

qui peut aussi s'écrire

2{\sqrt {\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}M^{t}\cos(\theta t+\psi )

où $ψ$ est l'angle dont le cosinus est $?? / \sqrt la y 2 + δ 2$ et dont le sinus est $?? / \sqrt la y 2 + δ 2$ .

Cyclicité

En fonction des conditions initiales, même avec toutes les racines réelles, les itérés peuvent avoir une tendance transitoire à aller au-dessus et au-dessous de la valeur de l'état stationnaire. Mais la vraie cyclicité implique une tendance permanente à fluctuer, et cela se produit s'il existe au moins une paire de racines caractéristiques conjuguées complexes. Cela peut être vu dans la forme trigonométrique de leur contribution à l'équation de solution, impliquant $cos θt$ et $sin θt$ .

Solution avec des racines caractéristiques en double

Dans le cas du second ordre, si les deux racines sont identiques ( $λ 1 = λ 2$ ), elles peuvent toutes les deux être notées $λ$ et une solution peut être de la forme

x_{t}=c_{1}\lambda ^{t}+c_{2}t\lambda ^{t}.

Conversion en forme homogène

Si $b 0$ , l'équation

y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{tn}+b

est dit non homogène . Pour résoudre cette équation, il est commode de la convertir sous forme homogène, sans terme constant. Cela se fait en trouvant d'abord la valeur à l'état stable de l'équation - une valeur $y *$ telle que, si $n$ itérations successives avaient toutes cette valeur, toutes les valeurs futures le seraient aussi. Cette valeur est trouvée en fixant toutes les valeurs de $y$ égales à $y *$ dans l'équation de différence, et en résolvant, obtenant ainsi

y^{*}={\frac {b}{1-a_{1}-\cdots -a_{n}}}

en supposant que le dénominateur n'est pas 0. S'il est nul, l'état stationnaire n'existe pas.

Étant donné l'état stationnaire, l'équation aux différences peut être réécrite en termes d'écarts des itérations par rapport à l'état stationnaire, comme

\left(y_{t}-y^{*}\right)=a_{1}\left(y_{t-1}-y^{*}\right)+\cdots +a_{n} \gauche(y_{tn}-y^{*}\right)

qui n'a pas de terme constant, et qui peut s'écrire plus succinctement comme

x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{tn}

où $x$ est égal à $y - y *$ . C'est la forme homogène.

S'il n'y a pas de régime permanent, l'équation aux différences

y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{tn}+b

peut être combiné avec sa forme équivalente

y_{t-1}=a_{1}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{t-(n+1)}+b

obtenir (en résolvant les deux pour $b$ )

y_{t}-a_{1}y_{t-1}-\cdots -a_{n}y_{tn}=y_{t-1}-a_{1}y_{t-2}-\ cdots -a_{n}y_{t-(n+1)}

dans lequel des termes similaires peuvent être combinés pour donner une équation homogène d'un ordre supérieur à l'original.

Stabilité

Dans l'équation solution

x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\lambda _{n}^{t},

un terme avec des racines caractéristiques réelles converge vers 0 à mesure que $t$ grandit indéfiniment si la valeur absolue de la racine caractéristique est inférieure à 1. Si la valeur absolue est égale à 1, le terme restera constant à mesure que $t$ grandit si la racine est +1 mais fluctuer entre deux valeurs si la racine est -1. Si la valeur absolue de la racine est supérieure à 1, le terme deviendra de plus en plus grand au fil du temps. Une paire de termes avec des racines caractéristiques conjuguées complexes convergera vers 0 avec des fluctuations d'amortissement si la valeur absolue du module $M$ des racines est inférieure à 1 ; si le module est égal à 1, des fluctuations d'amplitude constante dans les termes combinés persisteront ; et si le module est supérieur à 1, les termes combinés montreront des fluctuations d'une amplitude toujours croissante.

Ainsi, la variable évolutive $x$ convergera vers 0 si toutes les racines caractéristiques ont une magnitude inférieure à 1.

Si la plus grande racine a une valeur absolue 1, ni la convergence vers 0 ni la divergence vers l'infini ne se produiront. Si toutes les racines de magnitude 1 sont réelles et positives, $x$ convergera vers la somme de leurs termes constants $c i$ ; contrairement au cas stable, cette valeur convergée dépend des conditions initiales ; des points de départ différents conduisent à des points différents à long terme. Si une racine est -1, son terme contribuera à des fluctuations permanentes entre deux valeurs. Si l'une des racines de grandeur unitaire est complexe, les fluctuations d'amplitude constante de $x$ persisteront.

Enfin, si une racine caractéristique a une magnitude supérieure à 1, alors $x$ divergera jusqu'à l'infini à mesure que le temps tendra vers l'infini, ou fluctuera entre des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes.

Un théorème d' Issai Schur énonce que toutes les racines ont une magnitude inférieure à 1 (le cas stable) si et seulement si une chaîne particulière de déterminants sont tous positifs.

Si une équation de différence linéaire non homogène a été convertie en une forme homogène qui a été analysée comme ci-dessus, alors les propriétés de stabilité et de cyclicité de l'équation non homogène d'origine seront les mêmes que celles de la forme homogène dérivée, avec une convergence dans le cas stable étant à la valeur en régime permanent $y *$ au lieu de 0.

Solution par conversion sous forme matricielle

Une autre méthode de résolution consiste à convertir l' équation aux différences d'ordre $n en$ une équation aux différences matricielle du premier ordre . Ceci est accompli en écrivant $w 1, t = y t$ , $w 2, t = y t -1 = w 1, t -1$ , $w 3, t = y t -2 = w 2, t -1$ , et ainsi de suite . Ensuite, l' équation d'ordre $n$ unique d'origine

y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{tn}+b

peut être remplacé par les $n$ équations du premier ordre suivantes :

{\begin{aligned}w_{1,t}&=a_{1}w_{1,t-1}+a_{2}w_{2,t-1}+\cdots +a_{n} w_{n,t-1}+b\\w_{2,t}&=w_{1,t-1}\\&\,\,\,\vdots \\w_{n,t}&=w_ {n-1,t-1}.\end{aligned}}

Définir le vecteur $w i$ comme

\mathbf {w} _{i}={\begin{bmatrix}w_{1,i}\\w_{2,i}\\\vdots \\w_{n,i}\end{bmatrix} }

cela peut être mis sous forme matricielle comme

\mathbf {w} _{t}=\mathbf {A} \mathbf {w} _{t-1}+\mathbf {b}

Ici $A$ est une matrice $n \times n$ dans laquelle la première ligne contient $a 1, ..., a n$ et toutes les autres lignes ont un seul 1 avec tous les autres éléments étant 0, et $b$ est un vecteur colonne avec le premier élément $b$ et avec le reste de ses éléments étant 0.

Cette équation matricielle peut être résolue à l'aide des méthodes décrites dans l'article Équation de différence matricielle .

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