Modules (physique) - Moduli (physics)

En théorie quantique des champs , le terme modules (ou plus précisément champs de modules ) est parfois utilisé pour désigner des champs scalaires dont la fonction d'énergie potentielle a des familles continues de minima globaux. De telles fonctions potentielles se produisent fréquemment dans les systèmes supersymétriques . Le terme « module » est emprunté aux mathématiques, où il est utilisé comme synonyme de « paramètre ». Le mot moduli ( Moduln en allemand) est apparu pour la première fois en 1857 dans le célèbre article de Bernhard Riemann "Theorie der Abel'schen Functionen".

Espaces de modules dans les théories quantiques des champs

Dans les théories quantiques des champs, les vides possibles sont généralement étiquetés par les valeurs d'espérance de vide des champs scalaires, car l'invariance de Lorentz force les valeurs d'espérance de vide de tout champ de spin plus élevé à disparaître. Ces valeurs d'espérance de vide peuvent prendre n'importe quelle valeur pour laquelle la fonction potentielle est minimale. Par conséquent, lorsque la fonction potentielle a des familles continues de minima globaux, l'espace du vide pour la théorie quantique des champs est une variété (ou orbifold), généralement appelée la variété du vide . Cette variété est souvent appelée l' espace des modules du vide , ou simplement l'espace des modules, en abrégé.

Le terme modules sont également utilisés en théorie des cordes pour désigner divers paramètres continus qui étiquettent les arrière - plans de cordes possibles : la valeur attendue du champ de dilatons , les paramètres (par exemple le rayon et la structure complexe) qui régissent la forme de la variété de compactification, et cetera . Ces paramètres sont représentés, dans la théorie quantique des champs qui se rapproche de la théorie des cordes aux basses énergies, par les valeurs attendues du vide des champs scalaires sans masse, en contact avec l'usage décrit ci-dessus. En théorie des cordes, le terme « espace de modules » est souvent utilisé spécifiquement pour désigner l'espace de tous les arrière-plans de cordes possibles.

Espaces de modules des théories de jauge supersymétriques

Dans les théories quantiques générales des champs, même si l'énergie potentielle classique est minimisée sur un grand nombre de valeurs attendues possibles, une fois que les corrections quantiques sont incluses, il est généralement vrai que presque toutes ces configurations cessent de minimiser l'énergie. Le résultat est que l'ensemble des vides de la théorie quantique est généralement beaucoup plus petit que celui de la théorie classique . Une exception notable se produit lorsque les différents vides en question sont liés par une symétrie qui garantit que leurs niveaux d'énergie restent exactement dégénérés.

La situation est très différente dans les théories des champs quantiques supersymétriques . En général, ceux-ci possèdent de grands espaces de modules du vide qui ne sont liés par aucune symétrie, par exemple, les masses des différentes excitations peuvent différer en divers points de l'espace des modules. Les espaces de modules des théories de jauge supersymétriques sont en général plus faciles à calculer que ceux des théories non supersymétriques car la supersymétrie restreint les géométries autorisées de l'espace des modules même lorsque des corrections quantiques sont incluses.

Espaces de modules autorisés des théories à 4 dimensions

Plus il y a de supersymétrie, plus la restriction sur le collecteur à vide est forte. Par conséquent, si une restriction apparaît ci-dessous pour un nombre donné N de spineurs de suralimentation, elle est également valable pour toutes les valeurs supérieures de N.

N=1 théories

La première restriction sur la géométrie d'un espace de modules a été trouvée en 1979 par Bruno Zumino et publiée dans l'article Supersymmetry and Kähler Manifolds . Il a considéré une théorie N=1 en 4 dimensions avec une supersymétrie globale. N=1 signifie que les composants fermioniques de l'algèbre de supersymétrie peuvent être assemblés en une seule suralimentation de Majorana . Les seuls scalaires dans une telle théorie sont les scalaires complexes des superchamps chiraux . Il a découvert que la variété de vide des valeurs d'espérance de vide autorisées pour ces scalaires est non seulement complexe, mais aussi une variété de Kähler .

Si la gravité est incluse dans la théorie, de sorte qu'il y a une supersymétrie locale, alors la théorie résultante est appelée théorie de la supergravité et la restriction sur la géométrie de l'espace des modules devient plus forte. L'espace des modules ne doit pas seulement être de Kähler, mais aussi la forme de Kähler doit s'élever à la cohomologie intégrale . De telles variétés sont appelées variétés de Hodge . Le premier exemple est apparu dans l'article de 1979 Spontaneous Symmetry Breaking and Higgs Effect in Supergravity Without Cosmological Constant et la déclaration générale est apparue 3 ans plus tard dans Quantization of Newton's Constant in Certain Supergravity Theories .

N=2 théories

Dans les théories étendues à 4 dimensions avec une supersymétrie N=2, correspondant à une seule suralimentation de spinor de Dirac , les conditions sont plus fortes. L'algèbre de supersymétrie N=2 contient deux représentations avec des scalaires, le multiplet vectoriel qui contient un scalaire complexe et l' hypermultiplet qui contient deux scalaires complexes. L'espace des modules des multiplets vectoriels est appelé la branche de Coulomb tandis que celui des hypermultiplets est appelé la branche de Higgs . L'espace des modules totaux est localement un produit de ces deux branches, car les théorèmes de non-renormalisation impliquent que la métrique de chacun est indépendante des champs de l'autre multiplet. (Voir par exemple Argyres, Non-Perturbative Dynamics Of Four-Dimensional Supersymmetric Field Theories , pp. 6-7, pour une discussion plus approfondie de la structure du produit local.)

Dans le cas d'une supersymétrie globale N=2, c'est-à-dire en l'absence de gravité, la branche coulombienne de l'espace des modules est une variété spéciale de Kähler . Le premier exemple de cette restriction est apparu dans l'article de 1984 Potentials and Symmetries of General Gauged N=2 Supergravity: Yang-Mills Models par Bernard de Wit et Antoine Van Proeyen , tandis qu'une description géométrique générale de la géométrie sous-jacente, appelée géométrie spéciale , était présenté par Andrew Strominger dans son article de 1990 Special Geometry .

La branche de Higgs est une variété hyperkähler comme l'ont montré Luis Alvarez-Gaume et Daniel Freedman dans leur article de 1981 Geometrical Structure and Ultraviolet Finiteness in the Supersymmetric Sigma Model . En incluant la gravité, la supersymétrie devient locale. Ensuite, il faut ajouter la même condition de Hodge à la branche spéciale de Kahler Coulomb que dans le cas N=1. Jonathan Bagger et Edward Witten ont démontré dans leur article de 1982, Matter Couplings in N=2 Supergravity, que dans ce cas, la branche de Higgs doit être une variété de Kähler quaternionique .

N>2 Supersymétrie

Dans les supergravités étendues avec N>2 l'espace des modules doit toujours être un espace symétrique .

Les références