Filtration naturelle - Natural filtration

Dans la théorie des processus stochastiques en mathématiques et en statistique , la filtration générée ou filtration naturelle associée à un processus stochastique est une filtration associée au processus qui enregistre à chaque instant son «comportement passé». C'est en un sens la filtration la plus simple disponible pour étudier le procédé donné: toutes les informations concernant le procédé, et seulement ces informations, sont disponibles dans la filtration naturelle.

Plus formellement, soit (Ω, F , P ) un espace de probabilité ; soit ( I , ≤) un ensemble d'indices totalement ordonné ; soit ( S , Σ) un espace mesurable ; soit X  : I × Ω → S un processus stochastique. Alors la filtration naturelle de F par rapport à X est définie comme étant la filtration F _• ^X = ( F _i ^X ) _{i ∈ I} donnée par

${\ displaystyle F_ {i} ^ {X} = \ sigma \ left \ {\ left.X_ {j} ^ {- 1} (A) \ right | j \ in I, j \ leq i, A \ in \ Sigma \ droite \},}$

c'est-à-dire la plus petite σ -algèbre sur Ω qui contient toutes les pré-images des sous-ensembles Σ-mesurables de S pour des «temps» j jusqu'à i .

Dans de nombreux exemples, l'ensemble d'indices I est constitué des nombres naturels N (incluant éventuellement 0) ou d'un intervalle [0, T ] ou [0, + ∞); l'espace d'états S est souvent la droite réelle R ou l' espace euclidien R ⁿ .

Tout processus stochastique X est un processus adapté par rapport à sa filtration naturelle.

Les références

• Delia Coculescu; Ashkan Nikeghbali (2010), "Filtrations", Encyclopédie de la finance quantitative

Voir également

• Filtration (mathématiques)