Nome (mathématiques) - Nome (mathematics)

En mathématiques , en particulier la théorie des fonctions elliptiques , le nome est une fonction spéciale et est donné par

${\displaystyle q=e^{-{\frac {\pi K'}{K}}}=e^{\frac {{\rm {i}}\pi \omega _{2}}{\omega _ {1}}}=e^{{\rm {i}}\pi \tau }\,}$

où K et i K ′ sont les quarts de période , et ₁ et ω ₂ sont la paire fondamentale de périodes , et τ = i K  ′/ K  = ₂ /ω ₁ est le rapport des demi-périodes . Le nome peut être considéré comme fonction de l'une quelconque de ces quantités ; inversement, n'importe laquelle de ces quantités peut être prise en fonction du nome. Chacun d'eux détermine les autres de manière unique. C'est-à-dire que les correspondances entre ces divers symboles sont à la fois de 1 à 1 et sur, et peuvent donc être inversées : les quarts de périodes, les demi-périodes et le rapport des demi-périodes peuvent être explicitement écrits en fonction du nome. Des expressions explicites pour les trimestres , en termes de nome, sont données dans l'article lié. Inversement, ce qui précède peut être considéré comme une expression explicite du nome, en termes des autres quantités.

Ainsi, le nome peut être pris soit comme une fonction, soit comme un paramètre ; à l'inverse, les quarts et demi-périodes peuvent être pris soit comme des fonctions, soit comme des paramètres ; spécifier n'importe lequel est suffisant pour déterminer de manière unique tous les autres ; elles sont toutes fonctions les unes des autres.

Notationnellement, les quarts de période K et i K ne sont généralement utilisés que dans le contexte des fonctions elliptiques jacobiennes , alors que les demi-périodes ₁ et ω _{2 ne} sont généralement utilisées que dans le contexte des fonctions elliptiques de Weierstrass . Certains auteurs, notamment Apostol, utilisent ₁ et ₂ pour désigner des périodes entières plutôt que des demi-périodes.

Le nome est fréquemment utilisé comme valeur avec laquelle des fonctions elliptiques et des formes modulaires peuvent être décrites ; d'autre part, il peut également être considéré comme une fonction, car les quarts de période sont des fonctions du module elliptique . Cette ambiguïté se produit car pour les valeurs réelles du module elliptique, les quarts de période et donc le nome sont déterminés de manière unique.

Le nome complémentaire q ₁ est donné par

${\displaystyle q_{1}=e^{-{\frac {\pi K}{K'}}}.\,}$

Parfois, la notation est utilisée pour le carré du nome. ${\displaystyle q=e^{{2{\rm {i}}}\pi \tau }}$

Voir les articles sur le quart de période et les intégrales elliptiques pour des définitions et des relations supplémentaires sur le nome.

Applications

Le nome est couramment utilisé comme point de départ pour la construction des séries de Lambert , les séries q et plus généralement les q-analogues . C'est-à-dire que le rapport de demi-période τ est couramment utilisé comme coordonnée sur le demi-plan supérieur complexe , généralement doté de la métrique de Poincaré pour obtenir le modèle de demi-plan de Poincaré . Le nome sert alors de coordonnée sur un disque perforé de rayon unitaire ; il est perforé car q =0 ne fait pas partie du disque (ou plutôt, q =0 correspond à τ → ∞). Cela dote le disque perforé de la métrique de Poincaré.

Le demi-plan supérieur (et le disque de Poincaré , et le disque perforé) peut ainsi être carrelé avec le domaine fondamental , qui est la région des valeurs du rapport des demi-périodes τ (ou de q , ou de K et i K ′ etc.) qui déterminent uniquement un pavage du plan par des parallélogrammes . Le pavage est appelé la symétrie modulaire donnée par le groupe modulaire . Les fonctions périodiques sur le demi-plan supérieur (ou périodiques sur le disque de Poincaré ou périodiques sur le q -disque perforé) sont appelées fonctions modulaires ; le nome, les demi-périodes, les quarts de périodes ou le rapport de demi-périodes fournissent tous des paramétrisations différentes pour ces fonctions périodiques.

La fonction modulaire prototypique est l' invariant j de Klein . Il peut s'écrire en fonction soit du rapport de demi-période τ soit en fonction du nome q . L'expansion de la série en termes de nome ou de carré du nome (l' expansion q ) est connue pour être liée au monstre Fisher-Griess au moyen d'un monstrueux clair de lune .

Les fonctions qui sont "presque périodiques", mais pas tout à fait, et ayant une transformation particulière sous le groupe modulaire sont appelées formes modulaires . Par exemple, la fonction d'Euler apparaît comme le prototype de la série q en général.

Le nome, en tant que q de la série q, apparaît alors dans la théorie des algèbres de Lie affines , essentiellement parce que (pour le dire poétiquement, mais pas factuellement) ces algèbres décrivent les symétries et les isométries des surfaces de Riemann .

Les références

• Milton Abramowitz et Irene A. Stegun, Manuel des fonctions mathématiques , (1964) Dover Publications, New York. OCLC  1097832 . Voir les articles 16.27.4 et 17.3.17. Édition 1972 : ISBN  0-486-61272-4
• Tom M. Apostol , Fonctions modulaires et série Dirichlet en théorie des nombres, deuxième édition (1990), Springer, New York ISBN  0-387-97127-0