Fonction cylindre parabolique - Parabolic cylinder function

Coordonner les surfaces de coordonnées cylindriques paraboliques. Les fonctions de cylindre parabolique se produisent lorsque la séparation des variables est utilisée sur l'équation de Laplace dans ces coordonnées

En mathématiques , les fonctions cylindro - paraboliques sont des fonctions spéciales définies comme des solutions à l'équation différentielle

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} + \ gauche ({\ tilde {a}} z ^ {2} + {\ tilde {b}} z + {\ tilde {c}} \ droite) f = 0.}$

( 1 )

Cette équation se retrouve lorsque la technique de séparation des variables est utilisée sur l'équation de Laplace lorsqu'elle est exprimée en coordonnées cylindriques paraboliques .

L'équation ci-dessus peut être amenée sous deux formes distinctes (A) et (B) en complétant le carré et en remettant à l'échelle z , appelées équations de HF Weber ( Weber 1869 ) : erreur harv: pas de cible: CITEREFWeber1869 ( aide )

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} - \ left ({\ tfrac {1} {4}} z ^ {2} + a \ right) f = 0}$    (UNE)

et

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} + \ left ({\ tfrac {1} {4}} z ^ {2} -a \ right) f = 0. }$     (B)

Si

${\ Displaystyle f (a, z) \,}$

est une solution, alors

${\ Displaystyle f (a, -z), f (-a, iz) {\ text {et}} f (-a, -iz). \,}$

Si

${\ Displaystyle f (a, z) \,}$

est une solution de l'équation (A), alors

${\ Displaystyle f (-ia, ze ^ {(1/4) \ pi i}) \,}$

est une solution de (B), et, par symétrie,

${\ displaystyle f (-ia, -ze ^ {(1/4) \ pi i}), f (ia, -ze ^ {- (1/4) \ pi i}) {\ text {et}} f (ia, ze ^ {- (1/4) \ pi i}) \,}$

sont également des solutions de (B).

Solutions

Il existe des solutions indépendantes paires et impaires de la forme (A). Celles-ci sont données par (suivant la notation d' Abramowitz et Stegun (1965)):

${\ displaystyle y_ {1} (a; z) = \ exp (-z ^ {2} / 4) \; _ {1} F_ {1} \ left ({\ tfrac {1} {2}} a + { \ tfrac {1} {4}}; \; {\ tfrac {1} {2}} \ ;; \; {\ frac {z ^ {2}} {2}} \ right) \, \, \, \, \, \, (\ mathrm {pair})}$

et

${\ displaystyle y_ {2} (a; z) = z \ exp (-z ^ {2} / 4) \; _ {1} F_ {1} \ left ({\ tfrac {1} {2}} a + {\ tfrac {3} {4}}; \; {\ tfrac {3} {2}} \ ;; \; {\ frac {z ^ {2}} {2}} \ right) \, \, \ , \, \, \, (\ mathrm {impair})}$

où est la fonction hypergéométrique confluente . ${\ Displaystyle \; _ {1} F_ {1} (a; b; z) = M (a; b; z)}$

D'autres paires de solutions indépendantes peuvent être formées à partir de combinaisons linéaires des solutions ci-dessus (voir Abramowitz et Stegun). Une de ces paires est basée sur leur comportement à l'infini:

${\ displaystyle U (a, z) = {\ frac {1} {2 ^ {\ xi} {\ sqrt {\ pi}}}} \ left [\ cos (\ xi \ pi) \ Gamma (1/2 - \ xi) \, y_ {1} (a, z) - {\ sqrt {2}} \ sin (\ xi \ pi) \ Gamma (1- \ xi) \, y_ {2} (a, z) \droite]}$

${\ displaystyle V (a, z) = {\ frac {1} {2 ^ {\ xi} {\ sqrt {\ pi}} \ Gamma [1/2-a]}} \ left [\ sin (\ xi \ pi) \ Gamma (1 / 2- \ xi) \, y_ {1} (a, z) + {\ sqrt {2}} \ cos (\ xi \ pi) \ Gamma (1- \ xi) \, y_ {2} (a, z) \ right]}$

où

${\ displaystyle \ xi = {\ frac {1} {2}} a + {\ frac {1} {4}}.}$

La fonction U ( a ,  z ) s'approche de zéro pour les grandes valeurs de z et | arg ( z ) | <π / 2, tandis que V ( a ,  z ) diverge pour les grandes valeurs de z réel positif  .

${\ displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow \ infty} U (a, z) / e ^ {- z ^ {2} / 4} z ^ {- a-1/2} = 1 \, \, \, \, ({\ text {pour}} \, | \ arg (z) | <\ pi / 2)}$

et

${\ displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow \ infty} V (a, z) / {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} e ^ {z ^ {2} / 4} z ^ {a -1/2} = 1 \, \, \, \, ({\ text {pour}} \, \ arg (z) = 0).}$

Pour les valeurs demi-entières de a , celles-ci (c'est-à-dire U et V ) peuvent être ré-exprimées en termes de polynômes Hermite ; en variante, ils peuvent également être exprimés en termes de fonctions de Bessel .

Les fonctions U et V peuvent également être liées aux fonctions D _p ( x ) (notation remontant à Whittaker (1902)) qui sont elles-mêmes parfois appelées fonctions cylindro-paraboliques (voir Abramowitz et Stegun (1965)):

${\ displaystyle U (a, x) = D _ {- a - {\ tfrac {1} {2}}} (x),}$

${\ displaystyle V (a, x) = {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} + a)} {\ pi}} [\ sin (\ pi a) D _ {- a- { \ tfrac {1} {2}}} (x) + D _ {- a - {\ tfrac {1} {2}}} (- x)].}$

La fonction D _a (z) a été introduite par Whittaker et Watson comme une solution de l'équation ~ ( 1 ) avec borné à . Il peut être exprimé en termes de fonctions hypergéométriques confluentes comme ${\ displaystyle {\ tilde {a}} = - {\ frac {1} {4}}, {\ tilde {b}} = 0, {\ tilde {c}} = a + {\ frac {1} {2 }}}$${\ displaystyle + \ infty}$

${\ displaystyle D_ {a} (z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} {2 ^ {a / 2} e ^ {- {\ frac {z ^ {2}} {4 }}} \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ pi a} {2}} \ right) \ Gamma \ left ({\ frac {a + 1} {2}} \ right) \, _ { 1} F_ {1} \ left (- {\ frac {a} {2}}; {\ frac {1} {2}}; {\ frac {z ^ {2}} {2}} \ right) + {\ sqrt {2}} z \ sin \ left ({\ frac {\ pi a} {2}} \ right) \ Gamma \ left ({\ frac {a} {2}} + 1 \ right) \, _ {1} F_ {1} \ left ({\ frac {1} {2}} - {\ frac {a} {2}}; {\ frac {3} {2}}; {\ frac {z ^ {2}} {2}} \ right) \ right)}.}$

Les références

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , éds. (1983) [juin 1964]. "Chapitre 19" . Manuel des fonctions mathématiques avec formules, graphiques et tableaux mathématiques . Série de mathématiques appliquées. 55 (Neuvième réimpression avec corrections supplémentaires du dixième tirage original avec corrections (décembre 1972); première éd.). Washington DC; New York: Département du commerce des États-Unis, National Bureau of Standards; Publications de Douvres. p. 686. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Rozov, N.Kh. (2001) [1994], "Equation de Weber" , Encyclopédie de mathématiques , EMS Press
• Temme, NM (2010), «Parabolic cylindre function» , dans Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (éd.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Weber, HF (1869) "Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung ". Math. Ann. , 1, 1–36${\ displaystyle \ partial ^ {2} u / \ partial x ^ {2} + \ partial ^ {2} u / \ partial y ^ {2} + k ^ {2} u = 0}$
• Whittaker, ET (1902) "Sur les fonctions associées au cylindre parabolique en analyse harmonique" Proc. Mathématiques de Londres. Soc. 35, 417–427.
• Whittaker, ET et Watson, GN «La fonction du cylindre parabolique». §16.5 dans A Course in Modern Analysis, 4e éd. Cambridge, Angleterre: Cambridge University Press, pp.347-348, 1990.