Modèle de rotor quantique - Quantum rotor model

Le modèle de rotor quantique est un modèle mathématique pour un système quantique. Il peut être visualisé comme un réseau d'électrons en rotation qui se comportent comme des rotors rigides qui interagissent par des forces magnétiques dipôle-dipôle à courte portée provenant de leurs moments dipolaires magnétiques (en négligeant les forces de Coulomb ). Le modèle diffère des modèles de spin similaires tels que le modèle d'Ising et le modèle de Heisenberg en ce qu'il comprend un terme analogue à l'énergie cinétique .

Bien que les rotors quantiques élémentaires n'existent pas dans la nature, le modèle peut décrire des degrés de liberté effectifs pour un système d'un nombre suffisamment petit d' électrons étroitement couplés dans des états de basse énergie.

Supposons que le vecteur de position (orientation) à n dimensions du modèle à un site donné soit . Ensuite, nous pouvons définir l'impulsion du rotor par la relation de commutation des composants ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ mathbf {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$

${\ displaystyle [n _ {\ alpha}, p _ {\ beta}] = i \ delta _ {\ alpha \ beta}}$

Cependant, il s'avère pratique d'utiliser des opérateurs de moment angulaire du rotor définis (en 3 dimensions) par des composants ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle L _ {\ alpha} = \ varepsilon _ {\ alpha \ beta \ gamma} n _ {\ beta} p _ {\ gamma}}$

Ensuite, les interactions magnétiques entre les rotors quantiques, et donc leurs états énergétiques, peuvent être décrites par l' hamiltonien suivant :

${\ displaystyle H_ {R} = {\ frac {J {\ bar {g}}} {2}} \ sum _ {i} \ mathbf {L} _ {i} ^ {2} -J \ sum _ { \ langle ij \ rangle} \ mathbf {n} _ {i} \ cdot \ mathbf {n} _ {j}}$

où sont des constantes .. La somme des interactions est prise sur les voisins les plus proches, comme indiqué par les chevrons. Pour les très petits et les très grands , l'hamiltonien prédit deux configurations distinctes ( états fondamentaux ), à savoir respectivement des rotors ordonnés «magnétiquement» et des rotors désordonnés ou « paramagnétiques ». ${\ displaystyle J, {\ bar {g}}}$${\ displaystyle {\ bar {g}}}$

Les interactions entre les rotors quantiques peuvent être décrites par un autre hamiltonien (équivalent), qui traite les rotors non pas comme des moments magnétiques mais comme des courants électriques locaux.

Propriétés

L'une des caractéristiques importantes du modèle de rotor est la symétrie continue O (N) , et donc la symétrie continue correspondante se cassant dans l'état magnétiquement ordonné. Dans un système avec deux couches de spins Heisenberg et , le modèle de rotor se rapproche des états de basse énergie d'un antiferromagnet Heisenberg, avec l'hamiltonien ${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {1i}}$${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {2i}}$

${\ displaystyle H_ {d} = K \ sum _ {i} \ mathbf {S} _ {1i} \ cdot \ mathbf {S} _ {2i} + J \ sum _ {\ langle ij \ rangle} \ left ( \ mathbf {S} _ {1i} \ cdot \ mathbf {S} _ {1j} + \ mathbf {S} _ {2i} \ cdot \ mathbf {S} _ {2j} \ right)}$

en utilisant la correspondance ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {i} = \ mathbf {S} _ {1i} + \ mathbf {S} _ {2i}}$

Le cas particulier du modèle de rotor quantique qui a la symétrie O (2) peut être utilisé pour décrire un réseau supraconducteur de jonctions Josephson ou le comportement de bosons dans des réseaux optiques . Un autre cas particulier de symétrie O (3) est équivalent à un système à deux couches (bicouche) d'un antiferromagnet quantique de Heisenberg ; il peut également décrire des ferromagnétiques Hall quantiques à double couche . On peut également montrer que la transition de phase pour le modèle de rotor bidimensionnel a la même classe d'universalité que celle des modèles de spin antiferromagnétiques de Heisenberg.

Voir également

• Modèle de Heisenberg (quantique)
• Modèle Ising

Références