Cardinal mesurable - Measurable cardinal

En mathématiques , un cardinal mesurable est un certain type de grand nombre cardinal . Afin de définir le concept, on introduit une mesure à deux valeurs sur un cardinal κ , ou plus généralement sur n'importe quel ensemble. Pour un cardinal κ , il peut être décrit comme une subdivision de tous ses sous-ensembles en grands et petits ensembles tels que κ lui-même est grand, ∅ et tous les singletons { α }, α ∈ κ sont petits, les compléments de petits ensembles sont grands et vice versa. L' intersection de moins deκ grands ensembles est encore grande.

Il s'avère que les cardinaux innombrables dotés d'une mesure à deux valeurs sont de grands cardinaux dont l'existence ne peut être prouvée à partir de ZFC .

Le concept de cardinal mesurable a été introduit par Stanislaw Ulam en 1930.

Définition

Formellement, un cardinal mesurable est un innombrable nombre cardinal κ tel qu'il existe un κ-additif, non trivial, 0-1 à valeur mesure sur l' ensemble de la puissance de  κ . (Ici , le terme K-additif signifie que, pour toute séquence A _α , α <λ de cardinalité λ  <  κ , A _de les jeux étant deux à deux disjoints de ordinaux moins κ, la mesure de l'union de l' A _α est égal à la somme de les mesures de l'individu A _α .)

De manière équivalente, κ est mesurable signifie que c'est le point critique d'un plongement élémentaire non trivial de l' univers V dans une classe transitive M . Cette équivalence est due à Jerome Keisler et Dana Scott , et utilise la construction ultrapuissance de la théorie des modèles . Étant donné que V est une classe appropriée , un problème technique qui n'est généralement pas présent lors de l'examen des ultrapuissances doit être résolu, par ce qu'on appelle maintenant le truc de Scott .

De manière équivalente, κ est un cardinal mesurable si et seulement si elle est un cardinal dénombrable avec un κ-complet, non-principale ultrafiltre . Encore une fois, cela signifie que l'intersection de tout strictement inférieur à k ensembles -Beaucoup dans le ultrafiltre, est également dans le ultrafiltre.

Propriétés

Bien qu'il résulte de ZFC que tout cardinal mesurable est inaccessible (et est ineffable , Ramsey , etc.), il est cohérent avec ZF qu'un cardinal mesurable puisse être un cardinal successeur . Il résulte de ZF + axiome de détermination que ω ₁ est mesurable, et que tout sous-ensemble de ω ₁ contient ou est disjoint d'un sous- ensemble fermé et non borné .

Ulam a montré que le plus petit cardinal κ qui admet une mesure à deux valeurs additive dénombrable non triviale doit en fait admettre une mesure κ-additive. (S'il y avait une collection de moins de κ mesures-0 sous-ensembles dont l'union était κ, alors la mesure induite sur cette collection serait un contre-exemple à la minimalité de κ.) À partir de là, on peut prouver (avec l'axiome du choix) que le moindre de ces cardinal doit être inaccessible.

Il est trivial de noter que si κ admet une mesure κ-additive non triviale, alors κ doit être régulier. (Par non-trivialité et -additivité, tout sous-ensemble de cardinalité inférieure à doit avoir la mesure 0, puis par κ-additivité à nouveau, cela signifie que l'ensemble entier ne doit pas être une union de moins de κ ensembles de cardinalité inférieure à κ.) Enfin, si λ < κ, alors il ne peut pas être le cas que κ ≤ 2 ^λ . Si tel était le cas, nous pourrions alors identifier κ avec une collection de séquences 0-1 de longueur λ . Pour chaque position dans la séquence, soit le sous-ensemble de séquences avec 1 dans cette position, soit le sous-ensemble avec 0 dans cette position devrait avoir la mesure 1. L'intersection de ces λ - plusieurs sous-ensembles de la mesure 1 devrait donc également avoir la mesure 1 , mais il contiendrait exactement une séquence, ce qui contredirait la non-trivialité de la mesure. Ainsi, en supposant que l'axiome du choix, nous pouvons en déduire que κ est un cardinal limite forte, qui complète la preuve de son inaccessibilité.

Si κ est mesurable et p ∈ V _κ et M (l'ultrapuissance de V ) vérifie satisf(ψ, p ), alors l'ensemble de α  <  κ tel que V vérifie ψ ( α , p ) est stationnaire dans κ (en fait un ensemble de la mesure 1). En particulier si ψ est une formule Π ₁ et V satisfait ψ(κ, p ), alors M le satisfait et donc V satisfait ψ ( α , p ) pour un ensemble stationnaire de α  <  κ . Cette propriété peut être utilisée pour montrer que κ est une limite de la plupart des grands cardinaux qui sont plus faibles que mesurables. Notez que l'ultrafiltre ou la mesure attestant que κ est mesurable ne peut pas être dans M car le plus petit cardinal mesurable devrait en avoir un autre en dessous, ce qui est impossible.

Si l'on part d'un plongement élémentaire j ₁ de V dans M ₁ de point critique κ, alors on peut définir un ultrafiltre U sur κ comme { S ⊆κ : κ∈ j ₁ ( S ) }. Ensuite, en prenant une ultrapuissance de V sur U, nous pouvons obtenir un autre plongement élémentaire j ₂ de V dans M ₂ . Cependant, il est important de se rappeler que j ₂ ≠ j ₁ . Ainsi, d'autres types de grands cardinaux tels que les cardinaux forts peuvent également être mesurables, mais n'utilisant pas le même encastrement. On peut montrer qu'un fort cardinal κ est mesurable et a également κ-nombreux cardinaux mesurables en dessous.

Tout cardinal mesurable κ est un cardinal 0- énorme car ^κ M ⊆ M , c'est-à-dire que toute fonction de κ à M est dans M . Par conséquent, V _{k + 1} ⊆ M .

Mesurable à valeur réelle

Un cardinal κ est appelé mesurable à valeur réelle s'il existe une mesure de probabilité κ-additive sur l'ensemble de puissance de qui s'annule sur les singletons. Les cardinaux mesurables à valeur réelle ont été introduits par Stefan Banach  ( 1930 ). Banach & Kuratowski (1929) ont montré que l' hypothèse du continuum implique que n'est pas une valeur réelle mesurable. Stanislaw Ulam  ( 1930 ) a montré (voir ci-dessous pour des parties de la preuve d'Ulam) que les vrais cardinaux mesurables valorisés sont faiblement inaccessibles (ils sont en fait faiblement Mahlo ). Tous les cardinaux mesurables sont mesurables à valeur réelle, et un cardinal mesurable à valeur réelle est mesurable si et seulement si κ est supérieur à . Ainsi, un cardinal est mesurable si et seulement s'il est mesurable à valeur réelle et fortement inaccessible. Un cardinal mesurable de valeur réelle inférieur ou égal à existe si et seulement s'il y a une extension dénombrable additive de la mesure de Lebesgue à tous les ensembles de nombres réels si et seulement s'il existe une mesure de probabilité sans atome sur l'ensemble de puissance de certains non-vides ensemble. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Solovay (1971) a montré que l'existence de cardinaux mesurables dans ZFC, de cardinaux mesurables à valeur réelle dans ZFC et de cardinaux mesurables dans ZF, sont équicohérents .

Faible inaccessibilité des cardinaux mesurables à valeur réelle

Dire qu'un nombre cardinal est un nombre Ulam si ${\style d'affichage \alpha }$

n'importe quand

1. ${\style d'affichage \mu }$est une mesure extérieure sur un ensemble${\style d'affichage X,}$
2. ${\displaystyle \mu (X)<\infty ,}$
3. ${\displaystyle \mu (\{x\})=0,x\in X,}$
4. tous sont μ -mesurables ,${\style d'affichage A\sous-ensemble X}$

ensuite

${\displaystyle \operatorname {card} X\leq \alpha \Rightarrow \mu (X)=0.}$

De manière équivalente, un nombre cardinal est un nombre Ulam si ${\style d'affichage \alpha }$

n'importe quand

1. ${\style d'affichage \nu }$est une mesure extérieure sur un ensemble et une famille disjointe de sous-ensembles de ,${\style d'affichage Y,}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage Y}$
2. ${\displaystyle \nu \left(\bigcup F\right)<\infty ,}$
3. ${\style d'affichage \nu (A)=0}$ pour ${\style d'affichage A\dans F,}$
4. ${\displaystyle \bigcup G}$est ν -mesurable pour tout${\displaystyle G\sous-ensemble F}$

ensuite

${\displaystyle \operatorname {card} F\leq \alpha \Rightarrow \nu \left(\bigcup F\right)=0.}$

Le plus petit cardinal infini est un nombre Ulam. La classe des nombres Ulam est fermée sous l' opération cardinale successeur . Si un cardinal infini a un prédécesseur immédiat qui est un nombre Ulam, supposons que satisfait les propriétés (1) à (4) avec . Dans le modèle de von Neumann des ordinaux et des cardinaux, choisissez des fonctions injectives${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \beta }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \mu }$${\displaystyle X=\beta }$

${\displaystyle f_{x}:x\rightarrow \alpha ,\quad \forall x\in \beta ,}$

et définir les ensembles

${\displaystyle U(b,a)=\{x\in \beta :f_{x}(b)=a\},\quad a\in \alpha ,b\in \beta .}$

Étant donné qu'ils sont un à un, les ensembles ${\style d'affichage f_{x}}$

${\displaystyle \left\{U(b,a),b\in \beta \right\}{\text{(}}a{\text{ fixed)}},}$

${\displaystyle \left\{U(b,a),a\in \alpha \right\}{\text{(}}b{\text{ fixed)}}}$

sont disjoints. Par propriété (2) de , l'ensemble ${\style d'affichage \mu }$

${\displaystyle \left\{b\in \beta :\mu (U(b,a))>0\right\}}$

est dénombrable , et donc

${\displaystyle \operatorname {card} \left\{(b,a)\in \beta \times \alpha |\mu (U(b,a))>0\right\}\leq \aleph _{0} \cdot \alpha =\alpha .}$

Il y a donc un tel que ${\style d'affichage b_{0}}$

${\displaystyle \mu (U(b_{0},a))=0\quad \forall a\in \alpha }$

impliquant, puisque est un nombre Ulam et en utilisant la deuxième définition (avec et conditions (1)–(4) remplies), ${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \nu =\mu }$

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{a\in \alpha }U(b_{0},a)\right)=0.}$

Si alors Ainsi ${\displaystyle b_{0}<x<\beta ,}$${\displaystyle f_{x}(b_{0})=a_{x}\Rightarrow x\in U(b_{0},a_{x}).}$

${\displaystyle \beta =b_{0}\cup \{b_{0}\}\cup \bigcup _{a\in \alpha }U(b_{0},a),}$

Par la propriété (2) , et puisque , par (4), (2) et (3) , Il s'ensuit que La conclusion est que est un nombre Ulam. ${\displaystyle \mu \{b_{0}\}=0,}$${\displaystyle \operatorname {card} b_{0}\leq \alpha }$${\displaystyle \mu (b_{0})=0.}$${\displaystyle \mu (\beta )=0.}$${\displaystyle \beta }$

Il existe une preuve similaire que le supremum d'un ensemble de nombres Ulam avec un nombre Ulam est à nouveau un nombre Ulam. Avec le résultat précédent, cela implique qu'un cardinal qui n'est pas un nombre Ulam est faiblement inaccessible . ${\style d'affichage S}$${\displaystyle \operatorname {card} S}$

Voir également

• Mesure normale
• commande Mitchell
• Liste des grandes propriétés cardinales

Remarques

Citations

Les références

• Banach, Stefan (1930), "Über additive Maßfunktionen in abstrakten Mengen" , Fundamenta Mathematicae , 15 : 97-101, doi : 10.4064/fm-15-1-97-101 , ISSN  0016-2736.
• Banach, Stéphane ; Kuratowski, Kazimierz (1929), "Sur une généralisation du problème de la mesure" , Fundamenta Mathematicae , 14 : 127-131, doi : 10.4064/fm-14-1-127-131 , ISSN  0016-2736.
• Drake, FR (1974), Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics; V. 76) , Elsevier Science Ltd, ISBN 978-0-7204-2279-5.
• Federer, H. (1996) [1969], Théorie de la mesure géométrique , Classics in Mathematics (1ère édition de réimpression), Berlin, Heidelberg, New York : Springer Verlag , ISBN 978-3540606567.
• Jech, Thomas (2002), Théorie des ensembles, troisième édition du millénaire (révisée et augmentée) , Springer, ISBN 3-540-44085-2.
• Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2e éd.), Springer, ISBN 3-540-00384-3.
• Maddy, Penelope (1988), "Believing the Axioms. II" , The Journal of Symbolic Logic , 53 (3) : 736-764, doi : 10.2307/2274569 , JSTOR  2274569 , S2CID  16544090. Une copie des parties I et II de cet article avec des corrections est disponible sur la page Web de l' auteur .
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• Ulam, Stanislaw (1930), "Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre" , Fundamenta Mathematicae , 16 : 140-150, doi : 10.4064/fm-16-1-140-150 , ISSN  0016-2736.