Conduction thermique relativiste - Relativistic heat conduction

La conduction thermique relativiste fait référence à la modélisation de la conduction thermique (et des processus de diffusion similaires ) d'une manière compatible avec la relativité restreinte . Cet article traite des modèles utilisant une équation d'onde avec un terme dissipatif.

La conduction thermique dans un contexte newtonien est modélisée par l' équation de Fourier :

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}~=~\alpha ~\nabla ^{2}\theta ,}$

où θ est la température , t est le temps , α = k / ( ρ c ) est la diffusivité thermique , k est la conductivité thermique , ρ est la densité , et c est la capacité thermique spécifique . L' opérateur de Laplace , , est défini en coordonnées cartésiennes comme ${\displaystyle \scriptstyle \nabla ^{2}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}~=~{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}~+~{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}~+~{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$

Cette équation de Fourier peut être dérivée en substituant l'approximation linéaire de Fourier du vecteur de flux de chaleur, q , en fonction du gradient de température,

${\displaystyle \mathbf {q} ~=~-k~\nabla \theta ,}$

dans la première loi de la thermodynamique

${\displaystyle \rho ~c~{\frac {\partial \theta }{\partial t}}~+~\nabla \cdot \mathbf {q} ~=~0,}$

où l' opérateur del , , est défini en 3D comme

${\displaystyle \nabla ~=~{\frac {\partial }{\partial x}}~\mathbf {i} ~+~{\frac {\partial }{\partial y}}~\mathbf {j} ~ +~{\frac {\partial }{\partial z}}~\mathbf {k} .}$

On peut montrer que cette définition du vecteur flux thermique satisfait également la deuxième loi de la thermodynamique,

${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{\theta }}\right)~+~\rho ~{\frac {\partial s}{\partial t}}~~= ~\sigma ,}$

où s est spécifique entropie et σ est la production d' entropie.

Modèle hyperbolique

Il est bien connu que l'équation de Fourier (et la loi de diffusion plus générale de Fick ) est incompatible avec la théorie de la relativité pour au moins une raison : elle admet une vitesse infinie de propagation des signaux thermiques dans le champ continu . Par exemple, considérons une impulsion de chaleur à l'origine ; puis selon l'équation de Fourier, elle est ressentie (c'est-à-dire les changements de température) en tout point distant, instantanément. La vitesse de propagation de l'information est plus rapide que la vitesse de la lumière dans le vide, ce qui est inadmissible dans le cadre de la relativité.

Pour surmonter cette contradiction, des chercheurs tels que Cattaneo, Vernotte, Chester et d'autres ont proposé que l'équation de Fourier passe de la forme parabolique à une forme hyperbolique ,

${\displaystyle {\frac {1}{C^{2}}}~{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial t^{2}}}~+~{\frac {1} {\alpha }}~{\frac {\partial \theta }{\partial t}}~=~\nabla ^{2}\theta }$.

Dans cette équation, C est appelé la vitesse du second son (c'est-à-dire les particules quantiques fictives, les phonons). L'équation est connue sous le nom d' équation de conduction thermique hyperbolique (HCC). Mathématiquement, c'est la même chose que l' équation du télégraphe , qui est dérivée des équations de l'électrodynamique de Maxwell .

Pour que l'équation HHC reste compatible avec la première loi de la thermodynamique, il est nécessaire de modifier la définition du vecteur de flux de chaleur, q , pour

${\displaystyle \tau _{_{0}}~{\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial t}}~+~\mathbf {q} ~=~-k~\nabla \theta , }$

où est un temps de relaxation , tel que${\displaystyle \scriptstyle \tau _{_{0}}}$${\displaystyle \scriptstyle C^{2}~=~\alpha /\tau _{_{0}}.}$

L'implication la plus importante de l'équation hyperbolique est qu'en passant d'une équation différentielle partielle parabolique ( dissipative ) à une équation différentielle partielle hyperbolique (inclut un terme conservateur ) , il existe la possibilité de phénomènes tels que la résonance thermique et les ondes de choc thermique .

Remarques

Les références