Le stress de Reynolds - Reynolds stress

En dynamique des fluides , la contrainte de Reynolds est la composante du tenseur de contrainte totale dans un fluide obtenu à partir de l'opération de moyennage sur les équations de Navier-Stokes pour tenir compte des fluctuations turbulentes de la quantité de mouvement du fluide .

Définition

Le champ de vitesse d'un écoulement peut être divisé en une partie moyenne et une partie fluctuante en utilisant la décomposition de Reynolds . Nous écrivons

${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u_{i}',\,}$

avec étant le vecteur vitesse d'écoulement ayant des composantes dans la direction des coordonnées (avec désignant les composantes du vecteur de coordonnées ). Les vitesses moyennes sont déterminées soit par une moyenne temporelle , une moyenne spatiale ou une moyenne d'ensemble , en fonction de l'écoulement à l'étude. Dénote en outre la partie fluctuante (turbulence) de la vitesse. ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$${\style d'affichage u_{i}}$${\style d'affichage x_{i}}$${\style d'affichage x_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$${\displaystyle u'_{i}}$

On considère un fluide homogène, dont la densité ρ est considérée comme constante. Pour un tel fluide, les composantes ' _ij du tenseur des contraintes de Reynolds sont définies comme :

${\displaystyle \tau '_{ij}\equiv \rho \,{\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

Une autre définition – souvent utilisée –, pour une densité constante, des composantes de contrainte de Reynolds est :

${\displaystyle \tau ''_{ij}\equiv {\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

qui a les dimensions de la vitesse au carré, au lieu de la contrainte.

Moyenne et contrainte de Reynolds

Pour illustrer, la notation d'indice vectoriel cartésien est utilisée. Pour simplifier, considérons un fluide incompressible :

Étant donné la vitesse du fluide en fonction de la position et du temps, écrivez la vitesse moyenne du fluide sous la forme , et la fluctuation de la vitesse est . Ensuite . ${\style d'affichage u_{i}}$${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$${\displaystyle u'_{i}}$${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u'_{i}}$

Les règles d' ensemble conventionnelles de la moyenne sont que

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\bar {a}}}&={\bar {a}},\\{\overline {a+b}}&={\bar {a}} +{\bar {b}},\\{\overline {a{\bar {b}}}}&={\bar {a}}{\bar {b}}.\end{aligned}}}$

On scinde les équations d'Euler (dynamique des fluides) ou les équations de Navier-Stokes en une partie moyenne et une partie fluctuante. On constate qu'en faisant la moyenne des équations fluides, une contrainte sur le côté droit apparaît de la forme . C'est la contrainte de Reynolds, conventionnellement écrite : ${\displaystyle \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$${\style d'affichage R_{ij}}$

${\displaystyle R_{ij}\ \equiv \ \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$

La divergence de cette contrainte est la densité de force sur le fluide due aux fluctuations turbulentes.

Moyenne de Reynolds des équations de Navier-Stokes

Par exemple, pour un fluide newtonien incompressible, visqueux , les équations de continuité et de quantité de mouvement - les équations de Navier-Stokes incompressibles - peuvent être écrites (sous une forme non conservatrice) comme

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0,}$

et

${\displaystyle \rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^ {2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right),}$

où est la dérivée lagrangienne ou la dérivée substantielle , ${\displaystyle D/Dt}$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.}$

En définissant les variables d'écoulement ci-dessus avec une composante moyenne dans le temps et une composante fluctuante, les équations de continuité et de quantité de mouvement deviennent

${\displaystyle {\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{i}}}=0,}$

et

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{ j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

En examinant l'un des termes du côté gauche de l'équation de la quantité de mouvement, on voit que

${\displaystyle \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}' \right)}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_ {j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}-\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}},}$

où le dernier terme du membre de droite disparaît en raison de l'équation de continuité. En conséquence, l'équation de la quantité de mouvement devient

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{ j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

Maintenant, les équations de continuité et de quantité de mouvement seront moyennées. Les règles d'ensemble de la moyenne doivent être employées, en gardant à l'esprit que la moyenne des produits de quantités fluctuantes ne s'évanouira pas en général. Après avoir fait la moyenne, les équations de continuité et de quantité de mouvement deviennent

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0,}$

et

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\, {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}{\partial x_{j }}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}{\overline {u_{ i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

En utilisant la règle du produit sur l'un des termes du membre de gauche, il est révélé que

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}={\overline {u_{j} }}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{i}}}{\frac {\partial {\overline {u_ {j}}}}{\partiel x_{j}}},}$

où le dernier terme du côté droit disparaît en raison de l'équation de continuité moyennée. L'équation de quantité de mouvement moyenne devient maintenant, après un réarrangement :

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\ surligner {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}-\rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}\right),}$

où les contraintes de Reynolds, , sont rassemblées avec les termes de contrainte visqueuse normale et de cisaillement, . ${\displaystyle \rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}$${\displaystyle \mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}}$

Discussion

L'équation d'évolution temporelle de la contrainte de Reynolds a d'abord été donnée par l'équation (1.6) dans l'article de Zhou Peiyuan . L'équation sous sa forme moderne est

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{ k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}=-{\overline {u_{ i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline { u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}+{\ surligner {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}}-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{ \prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)-2 \nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$

Cette équation est très complexe. Si est tracé, l'énergie cinétique de turbulence est obtenue. Le dernier terme est le taux de dissipation turbulente. ${\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$${\displaystyle \nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }} {\partiel x_{k}}}}}}$

La question est alors, quelle est la valeur de la contrainte de Reynolds ? Cela a fait l'objet d'une modélisation et d'un intérêt intenses pendant environ le siècle dernier. Le problème est reconnu comme un problème de fermeture , apparenté au problème de fermeture dans la hiérarchie BBGKY . Une équation de transport pour la contrainte de Reynolds peut être trouvée en prenant le produit extérieur des équations du fluide pour la vitesse fluctuante, avec lui-même.

On trouve que l'équation de transport pour la contrainte de Reynolds comprend des termes avec des corrélations d'ordre supérieur (en particulier, la triple corrélation ) ainsi que des corrélations avec les fluctuations de pression (c'est-à-dire la quantité de mouvement portée par les ondes sonores). Une solution courante consiste à modéliser ces termes par de simples prescriptions ad hoc . ${\displaystyle {\overline {v'_{i}v'_{j}v'_{k}}}}$

La théorie de la contrainte de Reynolds est assez analogue à la théorie cinétique des gaz , et en effet le tenseur de contrainte dans un fluide en un point peut être considéré comme la moyenne d' ensemble de la contrainte due aux vitesses thermiques des molécules à un point donné dans un fluide. Ainsi, par analogie, la contrainte de Reynolds est parfois considérée comme constituée d'une partie de pression isotrope, appelée pression turbulente, et d'une partie hors diagonale qui peut être considérée comme une viscosité turbulente efficace.

En fait, alors que beaucoup d'efforts ont été consacrés au développement de bons modèles pour la contrainte de Reynolds dans un fluide, en pratique, lors de la résolution des équations des fluides en utilisant la dynamique des fluides numérique, les modèles de turbulence les plus simples s'avèrent souvent les plus efficaces. Une classe de modèles, étroitement liée au concept de viscosité turbulente, sont les modèles de turbulence k-epsilon , basés sur des équations de transport couplées pour la densité d'énergie turbulente (similaire à la pression turbulente, c'est-à-dire la trace de la contrainte de Reynolds) et la taux de dissipation . ${\style d'affichage k}$${\style d'affichage \epsilon }$

Typiquement, la moyenne est formellement définie comme une moyenne d'ensemble comme dans la théorie statistique d'ensemble . Cependant, en pratique, la moyenne peut également être considérée comme une moyenne spatiale sur une certaine échelle de longueur, ou une moyenne temporelle. Notons que, si formellement le lien entre de telles moyennes est justifié en mécanique statistique d'équilibre par le théorème ergodique , la mécanique statistique de la turbulence hydrodynamique est actuellement loin d'être comprise. En fait, la contrainte de Reynolds à un point donné dans un fluide turbulent est quelque peu sujette à interprétation, selon la façon dont on définit la moyenne.

Les références