Carrelage losange - Rhombille tiling
| Carrelage losange | |
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| Taper | Carrelage Laves |
| Visages | losange 60°–120° |
| Diagramme de Coxeter |
    
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| Groupe Symétrie | p6m, [6,3], *632 p3m1, [3 [3] ], *333 |
| Groupe de rotation | p6, [6,3] + , (632) p3, [3 [3] ] + , (333) |
| Double polyèdre | Carrelage trihexagonal |
| Configuration du visage | V3.6.3.6 |
| Propriétés | bord-transitif , face-transitif |
Dans la géométrie , le carrelage rhombille , également connu sous le nom de blocs de tumbling , cubes réversibles , ou le dé treillis , est une mosaïque de 60 ° identique losanges sur le plan euclidien . Chaque losange a deux angles de 60° et deux de 120° ; les losanges avec cette forme sont parfois aussi appelés diamants . Les ensembles de trois losanges se rencontrent à leurs angles de 120°, et les ensembles de six losanges se rencontrent à leurs angles de 60°.
Propriétés
Le pavage en losanges peut être vu comme une subdivision d'un pavage hexagonal avec chaque hexagone divisé en trois losanges se rencontrant au centre de l'hexagone. Cette subdivision représente un pavage composé régulier . Il peut également être vu comme une subdivision de quatre pavages hexagonaux avec chaque hexagone divisé en 12 losanges.
Les diagonales de chaque losange sont dans le rapport 1: √ 3 . Il s'agit du double pavage du pavage trihexagonal ou treillis kagome . En tant que double à un pavage uniforme , c'est l'un des onze pavages de Laves possibles , et dans la configuration de face pour les pavages monoédriques, il est noté [3.6.3.6].
C'est aussi l'un des 56 pavages isohédriques possibles par quadrilatères, et l'un des huit pavages du plan dans lequel chaque bord se trouve sur un axe de symétrie du pavage.
Il est possible d'intégrer le pavage en losanges dans un sous-ensemble d'un réseau entier tridimensionnel , constitué des points ( x , y , z ) avec | x + y + z | ≤ 1, de telle sorte que deux sommets soient adjacents si et seulement si les points de réseau correspondants sont à distance unitaire l'un de l'autre, et plus fortement de telle sorte que le nombre d'arêtes dans le chemin le plus court entre deux sommets quelconques du pavage est le identique à la distance de Manhattan entre les points de réseau correspondants. Ainsi, le pavage en losanges peut être considéré comme un exemple de graphe de distance unitaire infini et de cube partiel .
Applications artistiques et décoratives
Le pavage en losange peut être interprété comme une projection isométrique d'un ensemble de cubes de deux manières différentes, formant une figure réversible liée au Cube de Necker . Dans ce contexte, elle est connue sous le nom d'illusion des « cubes réversibles ».
Dans les œuvres d' art de MC Escher, Metamorphosis I , Metamorphosis II et Metamorphosis III, Escher utilise cette interprétation du pavage comme moyen de morphing entre des formes bidimensionnelles et tridimensionnelles. Dans une autre de ses œuvres, Cycle (1938), Escher joue avec la tension entre la bidimensionnalité et la tridimensionnalité de ce carrelage : il y dessine un bâtiment qui a à la fois de grands blocs cubiques comme éléments architecturaux (dessinés de manière isométrique) et un patio à l'étage carrelé au carrelage losange. Une figure humaine descend du patio au-delà des cubes, devenant ainsi plus stylisée et bidimensionnelle. Ces œuvres n'impliquent qu'une seule interprétation tridimensionnelle du carrelage, mais dans les expériences Convex et Concave Escher avec des figures réversibles plus généralement, et comprennent une représentation de l'illusion de cubes réversibles sur un drapeau dans la scène.
Le carrelage en losange est également utilisé comme décor de parquet et de carrelage au sol ou au mur, avec parfois des variations dans les formes de ses losanges. Il apparaît dans les anciennes mosaïques de sol grecques de Délos et dans les carrelages italiens du XIe siècle, bien que les carreaux avec ce motif dans la cathédrale de Sienne soient d'un millésime plus récent. En quilting , il est connu depuis les années 1850 sous le nom de motif "tumbling blocks", en référence à la dissonance visuelle causée par son interprétation tridimensionnelle doublée. En tant que motif de courtepointe, il porte également de nombreux autres noms, notamment le cube, les escaliers célestes et la boîte de Pandore. Il a été suggéré que le motif de la courtepointe des blocs tumbling était utilisé comme signal dans le chemin de fer clandestin : lorsque les esclaves le voyaient accroché à une clôture, ils devaient ranger leurs affaires et s'échapper. Voir Quilts of the Underground Railroad . Dans ces applications décoratives, les losanges peuvent apparaître dans plusieurs couleurs, mais reçoivent généralement trois niveaux d'ombrage, les plus brillants pour les losanges avec de longues diagonales horizontales et plus sombres pour les losanges avec les deux autres orientations, afin d'améliorer leur aspect tridimensionnel. Il existe un seul exemple connu de losange implicite et de pavage trihexagonal dans l'héraldique anglaise - dans les armoiries Geal/e.
Autres applications
Le pavage en losange peut être considéré comme le résultat de la superposition de deux pavages hexagonaux différents, traduits de sorte que certains des sommets d'un pavage atterrissent au centre des hexagones de l'autre pavage. Ainsi, il peut être utilisé pour définir des automates cellulaires par blocs dans lesquels les cellules de l'automate sont les losanges d'un pavage de losanges et les blocs en pas alternés de l'automate sont les hexagones des deux pavages hexagonaux superposés. Dans ce contexte, il est appelé le "quartier Q*bert", d'après le jeu vidéo Q*bert qui présentait une vue isométrique d'une pyramide de cubes comme terrain de jeu. Le voisinage de Q*bert peut être utilisé pour supporter un calcul universel via une simulation d' ordinateurs à boules de billard .
En physique de la matière condensée , le pavage en losanges est connu sous le nom de réseau en dés, réseau en dés ou réseau double kagome . C'est l'une des nombreuses structures répétitives utilisées pour étudier les modèles d'Ising et les systèmes connexes d' interactions de spin dans les cristaux diatomiques , et elle a également été étudiée en théorie de la percolation .
Polyèdres et pavages associés
Le pavage en losange est le double du pavage trihexagonal . C'est l'une des nombreuses façons différentes de carreler le plan par des losanges congruents. D'autres incluent une variation aplatie en diagonale du pavage carré (avec une symétrie de translation sur les quatre côtés du losange), le pavage utilisé par le motif de pliage Miura-ori (alternant entre la symétrie de translation et de réflexion) et le pavage de Penrose qui utilise deux types de losanges avec des angles aigus de 36° et 72° apériodiquement . Lorsque plus d'un type de losange est autorisé, des pavages supplémentaires sont possibles, y compris certains qui sont topologiquement équivalents au pavage en losange mais avec une symétrie plus faible.
Des pavages combinatoirement équivalents au pavage en losanges peuvent également être réalisés par des parallélogrammes, et interprétés comme des projections axonométriques de pas cubiques tridimensionnels.
Il n'y a que huit pavages de bord , des pavages du plan avec la propriété que la réflexion de n'importe quel carreau sur l'un de ses bords produit un autre carreau ; l'un d'eux est le carrelage en losange.
Voir également
Les références
Lectures complémentaires
- Keith Critchlow, Order in Space: A design source book , 1970, pp.77-76, pattern 1