Cercle riemannien - Riemannian circle

Un grand cercle divise la sphère en deux hémisphères égaux

En théorie de l' espace métrique et en géométrie riemannienne , le cercle riemannien est un grand cercle équipé de sa distance de grand cercle . C'est le cercle équipé de sa métrique riemannienne intrinsèque d'une variété compacte unidimensionnelle de longueur totale 2 π , ou la métrique extrinsèque obtenue par restriction de la métrique intrinsèque sur la sphère, par opposition à la métrique extrinsèque obtenue par restriction de l' euclidienne métrique au cercle unitaire dans le plan . Ainsi, la distance entre une paire de points est définie comme étant la longueur du plus court des deux arcs dans lesquels le cercle est divisé par les deux points.

Il porte le nom du mathématicien allemand Bernhard Riemann .

Propriétés

Le diamètre du cercle riemannien est π, contrairement à la valeur habituelle de 2 pour le diamètre euclidien du cercle unité.

L'inclusion du cercle riemannien comme l'équateur (ou tout grand cercle ) de la 2 sphère de courbure gaussienne constante +1, est un imbricant isométrique dans le sens des espaces métriques (il n'y a pas d'imbrication isométrique du cercle riemannien dans l'espace de Hilbert dans ce sens).

La conjecture de remplissage de Gromov

Un problème ouvert de longue date, posé par Mikhail Gromov , concerne le calcul de l' aire de remplissage du cercle riemannien. La zone de remplissage est supposée être 2 π , une valeur atteinte par l'hémisphère de courbure gaussienne constante +1.

Références