Chemin accidenté - Rough path

En analyse stochastique , un chemin grossier est une généralisation de la notion de chemin lisse permettant de construire une théorie de solution robuste pour des équations différentielles contrôlées pilotées par des signaux classiquement irréguliers, par exemple un processus de Wiener . La théorie a été développée dans les années 1990 par Terry Lyons . Plusieurs comptes rendus de la théorie sont disponibles.

La théorie des chemins approximatifs se concentre sur la capture et la précision des interactions entre les systèmes hautement oscillatoires et non linéaires. Il s'appuie sur l'analyse harmonique de LC Young, l'algèbre géométrique de KT Chen, la théorie de la fonction de Lipschitz de H. Whitney et les idées fondamentales de l'analyse stochastique. Les concepts et les estimations uniformes ont une application généralisée en mathématiques pures et appliquées et au-delà. Il fournit une boîte à outils pour récupérer avec une relative facilité de nombreux résultats classiques en analyse stochastique (Wong-Zakai, théorème de support de Stroock-Varadhan, construction de flux stochastiques, etc.) sans utiliser de propriétés probabilistes spécifiques telles que la propriété martingale ou la prévisibilité. La théorie étend également la théorie d'Itô des SDE bien au-delà du cadre semi-musical. Au cœur des mathématiques se trouve le défi de décrire efficacement un chemin lisse mais potentiellement hautement oscillatoire et multidimensionnel afin de prédire avec précision son effet sur un système dynamique non linéaire . La signature est un homomorphisme du monoïde des chemins (sous concaténation) dans les éléments de type groupe de l'algèbre tensorielle libre. Il fournit un résumé progressif du chemin . Cette transformation non commutative est fidèle pour les chemins jusqu'aux modifications nulles appropriées. Ces résumés gradués ou caractéristiques d'un parcours sont au cœur de la définition d'un parcours grossier; localement, ils suppriment le besoin de regarder la structure fine du chemin. Le théorème de Taylor explique comment toute fonction lisse peut, localement, être exprimée comme une combinaison linéaire de certaines fonctions spéciales (monômes basés à ce point). Les intégrales itérées coordonnées (termes de la signature) forment une algèbre plus subtile de caractéristiques qui peuvent décrire un flux ou un chemin d'une manière analogue; ils permettent une définition de chemin grossier et forment une "base" linéaire naturelle pour les fonctions continues sur les chemins. ${\ displaystyle x_ {t}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} y_ {t} = f (y_ {t}) \, \ mathrm {d} x_ {t}, y_ {0} = a}$${\ displaystyle x}$

Martin Hairer a utilisé des chemins approximatifs pour construire une théorie de solution robuste pour l' équation KPZ . Il a ensuite proposé une généralisation connue sous le nom de théorie des structures de régularité pour laquelle il a reçu une médaille Fields en 2014.

Motivation

La théorie des chemins approximatifs vise à donner un sens à l'équation différentielle contrôlée

${\ displaystyle \ mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} X_ {t} ^ {j}.}$

où le contrôle, le chemin continu prenant des valeurs dans un espace de Banach , n'a pas besoin d'être différentiable ni de variation bornée. Un exemple courant de chemin contrôlé est l'exemple de chemin d'un processus Wiener . Dans ce cas, l'équation différentielle contrôlée précitée peut être interprétée comme une équation différentielle stochastique et l'intégration contre " " peut être définie au sens d' Itô . Cependant, le calcul d'Itô est défini dans le sens de et n'est en particulier pas une définition de chemin. Les chemins approximatifs donnent une définition cheminement presque sûre de l'équation différentielle stochastique. La notion de chemin approximatif de solution est bien posée en ce sens que si est une séquence de chemins lisses convergeant vers la métrique -variation (décrite ci-dessous), et ${\ displaystyle X_ {t}}$${\ displaystyle X_ {t}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} ^ {j}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle X (n) _ {t}}$${\ displaystyle X_ {t}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} Y (n) _ {t} ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} X (n) _ {t} ^ {j};}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} X_ {t} ^ {j},}$

puis converge vers la métrique -variation. Cette propriété de continuité et la nature déterministe des solutions permettent de simplifier et de renforcer de nombreux résultats en analyse stochastique, comme la théorie des grands écarts de Freidlin-Wentzell ainsi que des résultats sur les flux stochastiques. ${\ displaystyle Y (n)}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle p}$

En fait, la théorie des chemins approximatifs peut aller bien au-delà de la portée du calcul d'Itô et de Stratonovich et permet de donner un sens aux équations différentielles conduites par des chemins non semimartingales , tels que les processus gaussiens et les processus de Markov .

Définition d'un chemin accidenté

Les chemins approximatifs sont des chemins prenant des valeurs dans l'algèbre tensorielle libre tronquée (plus précisément: dans le groupe nilpotent libre incorporé dans l'algèbre tensorielle libre), que cette section rappelle maintenant brièvement. Les puissances tensorielles de , notées , sont équipées de la norme projective (voir Produit tensoriel topologique , notez que la théorie des chemins grossiers fonctionne en fait pour une classe plus générale de normes). Soit l'algèbre tensorielle tronquée ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle {\ big (} \ mathbb {R} ^ {d} {\ big)} ^ {\ otimes n}}$${\ displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert}$${\ displaystyle T ^ {(n)} (\ mathbb {R} ^ {d})}$

${\ displaystyle T ^ {(n)} (\ mathbb {R} ^ {d}) = \ bigoplus _ {i = 0} ^ {n} {\ big (} \ mathbb {R} ^ {d} {\ grand)} ^ {\ otimes i},}$ où par convention . ${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {d}) ^ {\ otimes 0} \ cong \ mathbb {R}}$

Soit le simplexe . Laissez . Laissez et soyez des cartes continues . Notons la projection de sur -tenseurs et de même pour . La métrique -variation est définie comme ${\ displaystyle \ triangle _ {0,1}}$${\ displaystyle \ {(s, t): 0 \ leq s \ leq t \ leq 1 \}}$${\ displaystyle p \ geq 1}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$${\ displaystyle \ triangle _ {0,1} \ à T ^ {(\ lfloor p \ rfloor)} (\ mathbb {R} ^ {d})}$${\ displaystyle \ mathbf {X} ^ {j}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ mathbf {Y} ^ {j}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle d_ {p} \ left (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y} \ right): = \ max _ {j = 1, \ ldots, \ lfloor p \ rfloor} \ sup _ {0 = t_ {0} <t_ {1} <\ cdots <t_ {n} = 1} \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ Vert \ mathbf {X} _ {t_ {i}, t_ {i + 1}} ^ {j} - \ mathbf {Y} _ {t_ {i}, t_ {i + 1}} ^ {j} \ Vert ^ {\ frac {p} {j}} \ right ) ^ {\ frac {j} {p}}}$

où le supremum est pris sur toutes les partitions finies de . ${\ displaystyle \ {0 = t_ {0} <t_ {1} <\ cdots <t_ {n} = 1 \}}$${\ displaystyle [0,1]}$

Une fonction continue est un chemin approximatif géométrique s'il existe une séquence de chemins avec une variation totale finie telle que ${\ displaystyle \ mathbf {X}: \ triangle _ {0,1} \ rightarrow T ^ {(\ lfloor p \ rfloor)} (\ mathbb {R} ^ {d})}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X (1), X (2), \ ldots}$

${\ displaystyle \ mathbf {X} (n) _ {s, t} = \ left (1, \ int _ {s <s_ {1} <t} \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {1 }}, \ ldots, \ int _ {s <s_ {1} <\ cdots <s _ {\ lfloor p \ rfloor} <t} \, \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes \ mathrm {d} X (n) _ {s _ {\ lfloor p \ rfloor}} \ right)}$

converge dans la métrique -variation vers as . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$

Théorème limite universel

Un résultat central de la théorie des chemins approximatifs est le théorème de limite universelle de Lyons . Une version (faible) du résultat est la suivante: Soit une suite de chemins à variation totale finie et soit ${\ displaystyle X (n)}$

${\ displaystyle \ mathbf {X} (n) _ {s, t} = \ left (1, \ int _ {s <s_ {1} <t} \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {1 }}, \ ldots, \ int _ {s <s_ {1} <\ ldots <s _ {\ lfloor p \ rfloor} <t} \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes \ mathrm {d} X (n) _ {s _ {\ lfloor p \ rfloor}} \ right)}$ dénotent la montée approximative de chemin . ${\ displaystyle X (n)}$

Supposons que converge dans la métrique -variation vers un chemin approximatif -geométrique comme . Soit des fonctions qui ont au moins des dérivées bornées et les -th dérivés sont -Hölder continus pour certains . Soit la solution de l'équation différentielle ${\ displaystyle \ mathbf {X} (n)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle n \ to \ infty}$${\ displaystyle (V_ {j} ^ {i}) _ {j = 1, \ ldots, d} ^ {i = 1, \ ldots, n}}$${\ displaystyle \ lfloor p \ rfloor}$${\ displaystyle \ lfloor p \ rfloor}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha> p- \ lfloor p \ rfloor}$${\ displaystyle Y (n)}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} Y (n) _ {t} ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y (n) _ {t} ) \, \ mathrm {d} X (n) _ {t} ^ {j}}$

et laissez être défini comme ${\ displaystyle \ mathbf {Y} (n)}$

${\ displaystyle \ mathbf {Y} (n) _ {s, t} = \ left (1, \ int _ {s <s_ {1} <t} \, \ mathrm {d} Y (n) _ {s_ {1}}, \ ldots, \ int _ {s <s_ {1} <\ ldots <s _ {\ lfloor p \ rfloor} <t} \ mathrm {d} Y (n) _ {s_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes \ mathrm {d} Y (n) _ {s _ {\ lfloor p \ rfloor}} \ right).}$

Puis converge dans la métrique -variation vers un chemin approximatif -geométrique . ${\ displaystyle \ mathbf {Y} (n)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$

De plus, la solution de l'équation différentielle ${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} X_ {t} ^ {j} \ qquad (\ star)}$

conduit par le chemin géométrique rugueux . ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

En résumé, le théorème peut être interprété comme disant que la carte de solution (aka la carte d'Itô-Lyons) du RDE est continue (et en fait localement lipschitz) dans la topologie -variation. Par conséquent, la théorie des chemins approximatifs démontre qu'en considérant les signaux de commande comme des chemins approximatifs, on a une théorie de solution robuste pour les équations différentielles stochastiques classiques et au-delà. ${\ displaystyle \ Phi: G \ Omega _ {p} (\ mathbb {R} ^ {d}) \ to G \ Omega _ {p} (\ mathbb {R} ^ {e})}$${\ displaystyle (\ star)}$${\ displaystyle p}$

Exemples de chemins accidentés

mouvement brownien

Soit un mouvement brownien standard multidimensionnel. Notons l' intégration de Stratonovich . Puis ${\ displaystyle (B_ {t}) _ {t \ geq 0}}$${\ displaystyle \ circ}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {s, t} = \ left (1, \ int _ {s <s_ {1} <t} \ circ \ mathrm {d} B_ {s_ {1}}, \ int _ {s <s_ {1} <s_ {2} <t} \ circ \ mathrm {d} B_ {s_ {1}} \ otimes \ circ \ mathrm {d} B_ {s_ {2}} \ right)}$

est un chemin approximatif géométrique pour tout . Ce chemin rugueux géométrique est appelé le chemin rugueux brownien de Stratonovich . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 2 <p <3}$

Mouvement brownien fractionnaire

Plus généralement, soit un mouvement brownien fractionnaire multidimensionnel (un processus dont les composantes coordonnées sont des mouvements browniens fractionnaires indépendants) avec . Si est la -ème interpolation linéaire par morceaux dyadique de , alors ${\ displaystyle B_ {H} (t)}$${\ displaystyle H> {\ frac {1} {4}}}$${\ displaystyle B_ {H} ^ {m} (t)}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle B_ {H} (t)}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ mathbf {B} _ {H} ^ {m} (s, t) = \ left (1, \ int _ {s <s_ {1} <t} \ right. & \ mathrm {d} B_ {H} ^ {m} (s_ {1}), \ int _ {s <s_ {1} <s_ {2} <t} \, \ mathrm {d} B_ {H} ^ {m} (s_ {1}) \ otimes \ mathrm {d} B_ {H} ^ {m} (s_ {2}), \\ & \ left. \ int _ {s <s_ {1} <s_ { 2} <s_ {3} <t} \ mathrm {d} B_ {H} ^ {m} (s_ {1}) \ otimes \ mathrm {d} B_ {H} ^ {m} (s_ {2}) \ otimes \ mathrm {d} B_ {H} ^ {m} (s_ {3}) \ droite) \ end {aligné}}}$

converge presque sûrement dans la métrique -variation vers un chemin approximatif -geométrique pour . Ce chemin approximatif géométrique limite peut être utilisé pour donner un sens aux équations différentielles entraînées par le mouvement brownien fractionnaire avec le paramètre Hurst . Quand , il s'avère que la limite ci-dessus le long d'approximations dyadiques ne converge pas en -variation. Cependant, on peut bien sûr encore donner un sens aux équations différentielles à condition que l'on présente une élévation de trajectoire approximative, l'existence d'une telle élévation (non unique) est une conséquence du théorème d'extension Lyons-Victoir . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ frac {1} {H}} <p}$${\ displaystyle H> {\ frac {1} {4}}}$${\ displaystyle 0 <H \ leq {\ frac {1} {4}}}$${\ displaystyle p}$

Non-unicité de l'amélioration

En général, soit un processus stochastique évalué. Si l'on peut construire, presque sûrement, des fonctions pour que ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ geq 0}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle (s, t) \ rightarrow \ mathbf {X} _ {s, t} ^ {j} \ in {\ big (} \ mathbb {R} ^ {d} {\ big)} ^ {\ otimes j}}$

${\ displaystyle \ mathbf {X}: (s, t) \ rightarrow (1, X_ {t} -X_ {s}, \ mathbf {X} _ {s, t} ^ {2}, \ ldots, \ mathbf {X} _ {s, t} ^ {\ lfloor p \ rfloor})}$

est un chemin approximatif géométrique, puis est une amélioration du processus . Une fois qu'une amélioration a été choisie, la machinerie de la théorie des chemins approximatifs permettra de donner un sens à l'équation différentielle contrôlée ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {s, t}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} X_ {t} ^ {j}.}$

pour des champs de vecteurs suffisamment réguliers ${\ displaystyle V_ {j} ^ {i}.}$

Notez que chaque processus stochastique (même s'il s'agit d'un chemin déterministe) peut avoir plus d'une (en fait, un nombre incalculable) d'améliorations possibles. Différentes améliorations donneront lieu à différentes solutions aux équations différentielles contrôlées. En particulier, il est possible d'améliorer le mouvement brownien en un chemin géométrique approximatif d'une manière autre que le chemin approximatif brownien. Cela implique que le calcul de Stratonovich n'est pas la seule théorie du calcul stochastique qui satisfait à la règle classique du produit

${\ displaystyle \ mathrm {d} (X_ {t} \ cdot Y_ {t}) = X_ {t} \, \ mathrm {d} Y_ {t} + Y_ {t} \, \ mathrm {d} X_ { t}.}$

En fait, toute amélioration du mouvement brownien en tant que chemin géométrique grossier donnera lieu à un calcul qui satisfait à cette règle de produit classique. Le calcul Itô ne vient pas directement de l'amélioration du mouvement brownien comme un chemin géométrique rugueux, mais plutôt comme un chemin rugueux ramifié.

Applications en analyse stochastique

Équations différentielles stochastiques pilotées par des non-semimartingales

La théorie des chemins approximatifs permet de donner une notion cheminement de solution aux équations différentielles (stochastiques) de la forme

${\ displaystyle \ mathrm {d} Y_ {t} = b (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} t + \ sigma (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} X_ {t}}$

à condition que le processus stochastique multidimensionnel puisse être presque sûrement amélioré comme un chemin approximatif et que la dérive et la volatilité soient suffisamment lisses (voir la section sur le théorème de limite universel). ${\ displaystyle X_ {t}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ sigma}$

Il existe de nombreux exemples de processus de Markov, de processus gaussiens et d'autres processus qui peuvent être améliorés sous forme de chemins approximatifs.

Il y a, en particulier, de nombreux résultats sur la solution de l'équation différentielle entraînée par le mouvement brownien fractionnaire qui ont été prouvés en utilisant une combinaison de calcul de Malliavin et de théorie des chemins approximatifs. En fait, il a été récemment prouvé que la solution à l'équation différentielle contrôlée entraînée par une classe de processus gaussiens, qui comprend le mouvement brownien fractionnaire avec le paramètre de Hurst , a une densité lisse sous la condition de Hörmander sur les champs de vecteurs. ${\ displaystyle H> {\ frac {1} {4}}}$

Théorie des grands écarts de Freidlin-Wentzell

Soit l'espace des cartes linéaires bornées d'un espace de Banach à un autre espace de Banach . ${\ displaystyle L (V, W)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$

Soit un mouvement brownien standard -dimensionnel. Soit et soit des fonctions deux fois différentiables et dont les dérivées secondes sont -Hölder pour certains . ${\ displaystyle B_ {t}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle b: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow L (\ mathbb {R} ^ {d}, \ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha> 0}$

Soit la solution unique à l'équation différentielle stochastique ${\ displaystyle X ^ {\ varepsilon}}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} X ^ {\ varepsilon} = b (X_ {t} ^ {\ epsilon}) \, \ mathrm {d} t + {\ sqrt {\ varepsilon}} \ sigma (X ^ {\ varepsilon}) \ circ \ mathrm {d} B_ {t}; \, X ^ {\ varepsilon} = a,}$

où désigne l'intégration de Stratonovich. ${\ displaystyle \ circ}$

La théorie des grandes déviations de Freidlin Wentzell vise à étudier le comportement asymptotique, comme , de pour des ensembles fermés ou ouverts par rapport à la topologie uniforme. ${\ displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ mathbb {P} [X ^ {\ varepsilon} \ in F]}$${\ displaystyle F}$

Le théorème de limite universelle garantit que la carte Itô envoyant le chemin de contrôle à la solution est une carte continue de la topologie -variation à la topologie -variation (et donc la topologie uniforme). Par conséquent, le principe de contraction dans la théorie des grands écarts réduit le problème de Freidlin – Wentzell à la démonstration du principe des grands écarts pour la topologie à -variation. ${\ displaystyle (t, {\ sqrt {\ varepsilon}} B_ {t})}$${\ displaystyle X ^ {\ varepsilon}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle (t, {\ sqrt {\ varepsilon}} B_ {t})}$${\ displaystyle p}$

Cette stratégie peut être appliquée non seulement aux équations différentielles entraînées par le mouvement brownien, mais également aux équations différentielles entraînées par tout processus stochastique qui peut être amélioré sous forme de chemins approximatifs, tels que le mouvement brownien fractionnaire.

Flux stochastique

Encore une fois, soyons un mouvement brownien -dimensionnel. Supposons que le terme de dérive et le terme de volatilité aient une régularité suffisante pour que l'équation différentielle stochastique ${\ displaystyle B_ {t}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ phi _ {s, t} (x) = b (\ phi _ {s, t} (x)) \, \ mathrm {d} t + \ sigma {(\ phi _ { s, t} (x))} \, \ mathrm {d} B_ {t}; X_ {s} = x}$

a une solution unique dans le sens de chemin difficile. Une question fondamentale dans la théorie du flux stochastique est de savoir si la carte de flux existe et satisfait la propriété cocyclique que pour tous , ${\ displaystyle \ phi _ {s, t} (x)}$${\ Displaystyle s \ leq u \ leq t}$

${\ displaystyle \ phi _ {u, t} (\ phi _ {s, u} (x)) = \ phi _ {s, t} (x)}$

en dehors d'un ensemble nul indépendant de . ${\ displaystyle s, u, t}$

Le Théorème Limite Universel réduit encore une fois ce problème à savoir si le chemin grossier brownien existe et satisfait la propriété multiplicative que pour tous , ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {s, t}}}$${\ Displaystyle s \ leq u \ leq t}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {s, u} \ otimes \ mathbf {B} _ {u, t} = \ mathbf {B} _ {s, t}}$

en dehors d'un ensemble nul indépendant de , et . ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle t}$

En fait, la théorie du rude chemin donne l'existence et l' unicité de non seulement en dehors d' un indépendant fixé nul de , et mais aussi de la dérive et la volatilité . ${\ displaystyle \ phi _ {s, t} (x)}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ sigma}$

Comme dans le cas de la théorie de Freidlin – Wentzell, cette stratégie s'applique non seulement aux équations différentielles entraînées par le mouvement brownien, mais à tout processus stochastique qui peut être amélioré sous forme de chemins approximatifs.

Chemin accidenté contrôlé

Les chemins rugueux contrôlés, introduits par M. Gubinelli, sont des chemins pour lesquels l'intégrale brute ${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$

${\ displaystyle \ int _ {s} ^ {t} \ mathbf {Y} _ {u} \, \ mathrm {d} X_ {u}}$

peut être défini pour un chemin géométrique approximatif donné . ${\ displaystyle X}$

Plus précisément, désignons l'espace des cartes linéaires bornées d'un espace de Banach vers un autre espace de Banach . ${\ displaystyle L (V, W)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$

Étant donné un chemin approximatif géométrique ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ mathbf {X} = (1, \ mathbf {X} ^ {1}, \ ldots, \ mathbf {X} ^ {\ lfloor p \ rfloor})}$

sur , un - chemin contrôlé est une fonction telle que et qu'il existe telle que pour tous et , ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ mathbf {Y} _ {s} = (\ mathbf {Y} _ {s} ^ {0}, \ mathbf {Y} _ {s} ^ {1}, \ ldots, \ mathbf {Y} _ {s} ^ {\ lfloor \ gamma \ rfloor})}$${\ displaystyle \ mathbf {Y} ^ {j}: [0,1] \ rightarrow L ((\ mathbb {R} ^ {d}) ^ {\ otimes j + 1}, \ mathbb {R} ^ {n })}$${\ displaystyle M> 0}$${\ displaystyle 0 \ leq s \ leq t \ leq 1}$${\ displaystyle j = 0,1, \ ldots, \ lfloor \ gamma \ rfloor}$

${\ displaystyle \ Vert \ mathbf {Y} _ {s} ^ {j} \ Vert \ leq M}$

et

${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {Y} _ {t} ^ {j} - \ sum _ {i = 0} ^ {\ lfloor \ gamma \ rfloor -j} \ mathbf {Y} _ {s} ^ {j + i} \ mathbf {X} _ {s, t} ^ {i} \ right \ | \ leq M | ts | ^ {\ frac {\ gamma -j} {p}}.}$

Exemple: fonction Lip ( γ )

Soit un chemin approximatif géométrique satisfaisant à la condition de Hölder qu'il existe , pour tous et pour tous , ${\ displaystyle \ mathbf {X} = (1, \ mathbf {X} ^ {1}, \ ldots, \ mathbf {X} ^ {\ lfloor p \ rfloor})}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M> 0}$${\ displaystyle 0 \ leq s \ leq t \ leq 1}$${\ displaystyle j = 1,, 2, \ ldots, \ lfloor p \ rfloor}$

${\ displaystyle \ Vert \ mathbf {X} _ {s, t} ^ {j} \ Vert \ leq M (ts) ^ {\ frac {j} {p}},}$

où désigne le -ème composant tenseur de . Laissez . Soit une fonction -times différentiable et la -ème dérivée est Hölder, alors ${\ displaystyle \ mathbf {X} ^ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ gamma \ geq 1}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {d} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ lfloor \ gamma \ rfloor}$${\ displaystyle \ lfloor \ gamma \ rfloor}$${\ displaystyle \ gamma - \ lfloor \ gamma \ rfloor}$

${\ displaystyle (f (\ mathbf {X} _ {s} ^ {1}), Df (\ mathbf {X} _ {s} ^ {1}), \ ldots, D ^ {\ lfloor \ gamma \ rfloor } f (\ mathbf {X} _ {s} ^ {1}))}$

est un chemin contrôlé. ${\ displaystyle \ gamma}$

L'intégrale d'un chemin contrôlé est un chemin contrôlé

Si est un chemin contrôlé où , alors ${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma> p-1}$

${\ displaystyle \ int _ {s} ^ {t} \ mathbf {Y} _ {u} \, \ mathrm {d} X_ {u}}$

est défini et le chemin

${\ displaystyle \ left (\ int _ {s} ^ {t} \ mathbf {Y} _ {u} \, \ mathrm {d} X_ {u}, \ mathbf {Y} _ {s} ^ {0} , \ mathbf {Y} _ {s} ^ {1}, \ ldots, \ mathbf {Y} _ {s} ^ {\ lfloor \ gamma -1 \ rfloor} \ right)}$

est un chemin contrôlé. ${\ displaystyle \ gamma}$

La solution à l'équation différentielle contrôlée est un chemin contrôlé

Soit des fonctions qui ont au moins des dérivées et les -th dérivés sont -Hölder continus pour certains . Soit la solution de l'équation différentielle ${\ displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow L (\ mathbb {R} ^ {d}, \ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle \ lfloor \ gamma \ rfloor}$${\ displaystyle \ lfloor \ gamma \ rfloor}$${\ displaystyle \ gamma - \ lfloor \ gamma \ rfloor}$${\ displaystyle \ gamma> p}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} Y_ {t} = V (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} X_ {t}.}$

Définir

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Y} {\ mathrm {d} X}} (\ cdot) = V (\ cdot);}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {r + 1} Y} {\ mathrm {d} ^ {r + 1} X}} (\ cdot) = D \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {r} Y} {\ mathrm {d} ^ {r} X}} \ right) (\ cdot) V (\ cdot),}$

où désigne l'opérateur dérivé, alors ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ left (Y_ {t}, {\ frac {\ mathrm {d} Y} {\ mathrm {d} X}} (Y_ {t}), {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2 } Y} {\ mathrm {d} ^ {2} X}} (Y_ {t}), \ ldots, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {\ lfloor \ gamma \ rfloor} Y} {\ mathrm { d} ^ {\ lfloor \ gamma \ rfloor} X}} (Y_ {t}) \ right)}$

est un chemin contrôlé. ${\ displaystyle \ gamma}$

Signature

Soit une fonction continue à variation totale finie. Définir ${\ displaystyle X: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {d}}$

${\ displaystyle S (X) _ {s, t} = \ left (1, \ int _ {s <s_ {1} <t} \ mathrm {d} X_ {s_ {1}}, \ int _ {s <s_ {1} <s_ {2} <t} \ mathrm {d} X_ {s_ {1}} \ otimes \ mathrm {d} X_ {s_ {2}}, \ ldots, \ int _ {s <s_ {1} <\ cdots <s_ {n} <t} \ mathrm {d} X_ {s_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes \ mathrm {d} X_ {s_ {n}}, \ ldots \ right) .}$

La signature d'un chemin est définie comme étant . ${\ displaystyle S (X) _ {0,1}}$

La signature peut également être définie pour les chemins géométriques rugueux. Soit un chemin géométrique approximatif et soit une suite de chemins à variation totale finie telle que ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {X} (n)}$

${\ displaystyle \ mathbf {X} (n) _ {s, t} = \ left (1, \ int _ {s <s_ {1} <t} \, \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {1}}, \ ldots, \ int _ {s <s_ {1} <\ cdots <s _ {\ lfloor p \ rfloor} <t} \, \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {1} } \ otimes \ cdots \ otimes \ mathrm {d} X (n) _ {s _ {\ lfloor p \ rfloor}} \ right).}$

converge dans la métrique -variation vers . Puis ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

${\ displaystyle \ int _ {s <s_ {1} <\ cdots <s_ {N} <t} \, \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {N}}}$

converge comme pour chacun . La signature du chemin géométrique approximatif peut être définie comme la limite de as . ${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle S (X (n)) _ {s, t}}$${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$

La signature satisfait l'identité de Chen, que

${\ displaystyle S (\ mathbf {X}) _ {s, u} \ otimes S (\ mathbf {X}) _ {u, t} = S (\ mathbf {X}) _ {s, t}}$

pour tous . ${\ Displaystyle s \ leq u \ leq t}$

Noyau de la transformation de signature

L'ensemble des chemins dont la signature est la séquence triviale, ou plus précisément,

${\ displaystyle S (\ mathbf {X}) _ {0,1} = (1,0,0, \ ldots)}$

peut être complètement caractérisé en utilisant l'idée de chemin en forme d'arbre.

Un chemin approximatif géométrique est semblable à un arbre s'il existe une fonction continue telle que et pour tous et tous , ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle h: [0,1] \ rightarrow [0, \ infty)}$${\ displaystyle h (0) = h (1) = 0}$${\ displaystyle j = 1, \ ldots, \ lfloor p \ rfloor}$${\ displaystyle 0 \ leq s \ leq t \ leq 1}$

${\ Displaystyle \ Vert \ mathbf {X} _ {s, t} ^ {j} \ Vert ^ {p} \ leq h (t) + h (s) -2 \ inf _ {u \ in [s, t ]} h (u)}$

où désigne le -ème composant tenseur de . ${\ displaystyle \ mathbf {X} ^ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

Un chemin géométrique approximatif satisfait si et seulement si est semblable à un arbre. ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle S (\ mathbf {X}) _ {0,1} = (1,0, \ ldots)}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

Compte tenu de la signature d'un chemin, il est possible de reconstruire le chemin unique qui n'a pas de pièces en forme d'arbre.

Dimensions infinies

Il est également possible d'étendre les résultats de base de la théorie des chemins approximatifs à des dimensions infinies, à condition que la norme sur l'algèbre tensorielle satisfasse à certaines conditions d'admissibilité.

Les références