Transformation de séquence - Sequence transformation

En mathématiques , une transformation de séquence est un opérateur agissant sur un espace donné de séquences (un espace de séquence ). Les transformations de séquence incluent des mappages linéaires tels que la convolution avec une autre séquence et la reprise d'une séquence et, plus généralement, sont couramment utilisées pour l' accélération de la série , c'est-à-dire pour améliorer le taux de convergence d'une séquence ou d'une série lentement convergente . Les transformations de séquence sont également couramment utilisées pour calculer numériquement l' antilimite d'une série divergente et sont utilisées en conjonction avec des méthodes d'extrapolation .

Aperçu

Des exemples classiques pour les transformations de séquence comprennent la transformation binomiale , Möbius transformer , Stirling transform et d' autres.

Définitions

Pour une séquence donnée

${\displaystyle S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },\,}$

la séquence transformée est

${\displaystyle \mathbf {T} (S)=S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },\,}$

où les membres de la séquence transformée sont généralement calculés à partir d'un nombre fini de membres de la séquence d'origine, c'est-à-dire

${\displaystyle s_{n}'=T(s_{n},s_{n+1},\dots ,s_{n+k})}$

pour certains qui dépend souvent de (cf. ex. Transformée binomiale ). Dans le cas le plus simple, les et les sont des nombres réels ou complexes . Plus généralement, il peut s'agir d'éléments d'un espace vectoriel ou d'une algèbre . ${\style d'affichage k}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage s_{n}}$${\displaystyle s'_{n}}$

Dans le contexte de l'accélération de la convergence, la séquence transformée est dite converger plus rapidement que la séquence d'origine si

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0}$

où est la limite de , supposée convergente. Dans ce cas, on obtient une accélération de convergence . Si la séquence originale est divergente , la transformation de séquence agit comme méthode d'extrapolation à l'antilimite . ${\style d'affichage \ell }$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage \ell }$

Si l'application est linéaire dans chacun de ses arguments, c'est-à-dire pour ${\style d'affichage T}$

${\displaystyle s'_{n}=\sum _{m=0}^{k}c_{m}s_{n+m}}$

pour certaines constantes (qui peuvent dépendre de n ), la transformation de séquence est appelée transformation de séquence linéaire . Les transformations de séquence qui ne sont pas linéaires sont appelées transformations de séquence non linéaires. ${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{k}}$${\displaystyle \mathbf {T} }$

Exemples

Les exemples les plus simples de transformations de séquences (linéaires) incluent le décalage de tous les éléments (resp. = 0 si n  +  k  < 0) pour un k fixe et la multiplication scalaire de la séquence. ${\style d'affichage s'_{n}=s_{n+k}}$

Un exemple moins trivial serait la convolution discrète avec une séquence fixe. Une forme particulièrement basique est l' opérateur de différence , qui est une convolution avec la séquence et est un analogue discret de la dérivée . La transformée binomiale est une autre transformation linéaire d'un type encore plus général. ${\style d'affichage (-1,1,0,\ldots ),}$

Un exemple de transformation de séquence non linéaire est le processus delta-carré d'Aitken , utilisé pour améliorer le taux de convergence d'une séquence lentement convergente. Une forme étendue de ceci est la transformation de Shanks . La transformée de Möbius est également une transformation non linéaire, uniquement possible pour les séquences entières .

Voir également

• Le processus delta-carré d'Aitken
• Extrapolation polynomiale minimale
• Extrapolation de Richardson
• Accélération en série
• La méthode de Steffensen

Les références

• Hugh J. Hamilton, " Théorème de Mertens et transformations de séquences ", AMS (1947)

Liens externes

• Transformations of Integer Sequences , une sous-page de l' Encyclopédie en ligne des séquences entières