Fonction d'ensemble sigma-additif - Sigma-additive set function

En mathématiques , une fonction d'ensemble additif est une fonction mappant des ensembles sur des nombres, avec la propriété que sa valeur sur une union de deux ensembles disjoints est égale à la somme de ses valeurs sur ces ensembles, à savoir, si cette propriété d'additivité est valable pour deux ensembles, alors cela vaut aussi pour tout nombre fini d'ensembles, à savoir, la valeur de la fonction sur l'union de k ensembles disjoints (où k est un nombre fini) est égale à la somme de ses valeurs sur les ensembles. Par conséquent, une fonction d'ensemble additive est également appelée fonction d'ensemble finiment additive (les termes sont équivalents). Cependant, une fonction d'ensemble finiment additive peut ne pas avoir la propriété d'additivité pour une union d'un nombre infini d'ensembles. Une fonction d'ensemble σ-additive est une fonction qui a la propriété d'additivité même pour une infinité d'ensembles, c'est-à-dire${\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$${\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}) .}$

L'additivité et l'additivité sigma sont des propriétés particulièrement importantes des mesures . Ce sont des abstractions de la manière intuitive des propriétés de taille ( longueur , aire , volume ) d'une somme définie lors de l'examen de plusieurs objets. L'additivité est une condition plus faible que la σ-additivité ; c'est-à-dire que la -additivité implique l'additivité.

Le terme fonction d'ensemble modulaire est équivalent à fonction d'ensemble additive ; voir modularité ci-dessous.

Fonctions ensemblistes additives (ou finiment additives)

Soit une fonction ensembliste définie sur une algèbre d'ensembles avec des valeurs dans (voir la droite des nombres réels étendus ). La fonction est appelée additive, ou finiment additive, si, chaque fois que et sont des ensembles disjoints dans un a ${\style d'affichage \mu }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$${\style d'affichage [-\infty ,\infty ]}$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$

Une conséquence de ceci est qu'une fonction additive ne peut pas prendre à la fois et comme valeurs, car l'expression est indéfinie. ${\displaystyle -\infty }$${\style d'affichage +\infty }$${\style d'affichage \infty -\infty }$

On peut prouver par induction mathématique qu'une fonction additive satisfait

pour tout ensemble disjoint dans${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}}$${\textstyle {\mathcal {A}}.}$

Fonctions d'ensemble -additif

Supposons que ce soit une -algèbre . Si pour chaque séquence d'ensembles disjoints par paires dans${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$

détient alors est dit être dénombrable additif ou -additif . Chaque fonction 𝜎-additive est additive mais pas l'inverse, comme indiqué ci-dessous. ${\style d'affichage \mu }$

Fonctions d'ensemble -additif

Supposons qu'en plus d'une algèbre sigma nous ayons une

topologie Si pour chaque famille dirigée d' ensembles ouverts mesurables${\textstyle {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\textstyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}\cap \tau ,}$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}}}\mu (G),}$$

on dit que c'est -additif. En particulier, si est régulier interne (par rapport aux ensembles compacts) alors il est τ-additif. ${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage \tau }$${\style d'affichage \mu }$

Propriétés

Les propriétés utiles d'une fonction d'ensemble additif sont les suivantes. ${\style d'affichage \mu }$

Valeur de l'ensemble vide

Soit ou attribue à tous les ensembles de son domaine, soit attribue à tous les ensembles de son domaine.

Preuve : l'additivité implique que pour tout ensemble Si alors cette égalité ne peut être satisfaite que par plus ou moins l'infini. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0,}$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage \infty }$${\style d'affichage \mu }$${\displaystyle -\infty }$${\style d'affichage A,}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cup \varnothing )=\mu (A)+\mu (\varnothing ).}$${\displaystyle \mu (\varnothing )\neq 0,}$

Monotonie

Si est non-négatif et alors C'est-à-dire, est une

fonction d'ensemble monotone . De même, Si est non positif et alors${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage A\sous-ensemble B}$${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B).}$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage A\sous-ensemble B}$${\displaystyle \mu (A)\geq \mu (B).}$

Modularité

Étant donné et

preuve : écrivez et et où tous les ensembles de l'union sont disjoints. L'additivité implique que les deux côtés de l'égalité sont égaux${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B,}$ ${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).}$ ${\displaystyle A=(A\cap B)\cup (A\setmoins B)}$${\displaystyle B=(A\cap B)\cup (B\setmoins A)}$${\displaystyle A\cup B=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\cup (B\setminus A),}$${\displaystyle \mu (A\setmoins B)+\mu (B\setmoins A)+2\mu (A\cap B).}$

La propriété ci-dessus est appelée modularité , et nous venons de prouver que la modularité est équivalente à l'additivité. Cependant, il existe des propriétés connexes appelées sous - modularité et

sous - additivité , qui ne sont pas équivalentes.

Notez que la modularité a un sens différent et sans rapport dans le contexte de fonctions complexes ; voir forme modulaire .

Définir la différence

Si et est défini, alors${\style d'affichage A\sous-ensemble B}$${\style d'affichage \mu (B)-\mu (A)}$${\displaystyle \mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).}$

Exemples

Un exemple d'une fonction 𝜎-additive est la fonction définie sur l'

ensemble de puissance des nombres réels , tel que ${\style d'affichage \mu }$

$${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}}$$

Si est une séquence d'ensembles disjoints de nombres réels, alors aucun des ensembles ne contient 0, ou précisément l'un d'entre eux en contient. Dans les deux cas, l'égalité ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}) }$$

tient.

Voir mesure et

mesure signée pour plus d'exemples de fonctions 𝜎-additives.

Une fonction additive qui n'est pas σ-additive

Un exemple de fonction additive qui n'est pas -additive est obtenu en considérant , défini sur les ensembles de Lebesgue des nombres réels par la formule ${\style d'affichage \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

où désigne la mesure de Lebesgue et la limite de Banach . Il satisfait et si alors${\style d'affichage \lambda }$${\style d'affichage \lim }$${\displaystyle 0\leq \mu (A)\leq 1}$${\displaystyle \sup A<\infty }$${\style d'affichage \mu (A)=0.}$

On peut vérifier que cette fonction est additive en utilisant la linéarité de la limite. Que cette fonction n'est pas -additive s'ensuit en considérant la suite des ensembles disjoints

$${\style d'affichage A_{n}=[n,n+1)}$$

car L'union de ces ensembles est les réels positifs , et appliqué à l'union est alors un, tandis qu'appliqué à l'un des ensembles individuels est zéro, donc la somme de est également zéro, ce qui prouve le contre-exemple. ${\style d'affichage n=0,1,2,\ldots }$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage \mu (A_{n})}$

Généralisations

On peut définir des fonctions additives avec des valeurs dans n'importe quel monoïde additif (par exemple n'importe quel groupe ou plus communément un espace vectoriel ). Pour la sigma-additivité, il faut en plus que la notion de limite d'une suite soit définie sur cet ensemble. Par exemple, les mesures spectrales sont des fonctions sigma-additives avec des valeurs dans une algèbre de Banach . Un autre exemple, également tiré de la mécanique quantique, est la mesure à valeur opérateur positive .

Voir également

• Carte additive
• Théorème de Hahn-Kolmogorov
• Mesure (mathématiques)  – Généralisation de la masse, de la longueur, de l'aire et du volume
• mesure -finie
• Mesure signée  – notion généralisée de mesure en mathématiques
• Fonction d'ensemble sous-modulaire  - Fonction sur les sous-ensembles qui a une propriété de rendement décroissant
• Fonction d'ensemble sous-additif
• -additivité

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Les références