Le problème du calcul de Steiner - Steiner's calculus problem

Le problème de Steiner , posé et répondu par Steiner (1850) , est le problème de trouver le maximum de la fonction

${\style d'affichage f(x)=x^{1/x}.\,}$

Il porte le nom de Jakob Steiner .

Le maximum est à , où e désigne la base du logarithme népérien . On peut déterminer qu'en résolvant le problème équivalent de maximisation ${\style d'affichage x=e}$

${\displaystyle g(x)=\ln f(x)={\frac {\ln x}{x}}.}$

La dérivée de est ${\style d'affichage g}$

${\displaystyle g'(x)={\frac {1-\ln x}{x^{2}}},}$

donc est positif pour et négatif pour , ce qui implique que – et donc – est croissant pour et décroissant pour Ainsi, est le maximum global unique de${\style d'affichage g'(x)}$${\style d'affichage 0<x<e}$${\style d'affichage x>e}$${\style d'affichage g(x)}$${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage 0<x<e}$${\style d'affichage x>e.}$${\style d'affichage x=e}$${\style d'affichage f(x).}$

Les références

• Steiner, J. (1850), "Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl" (PDF) , Crelle , 40 : 208