L'analyste -The Analyst

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L'analyste (sous-titré Un discours adressé à un mathématicien infidèle : où il est examiné si l'objet, les principes et les inférences de l'analyse moderne sont plus distinctement conçus ou déduits de manière plus évidente que les mystères religieux et les points de foi ) est un livre publié par George Berkeley en 1734. On pense que le « mathématicien infidèle » était Edmond Halley , bien que d'autres aient supposé que Sir Isaac Newton était destiné.

Contexte et objectif

Dès ses premiers jours d'écrivain, Berkeley avait pris sa plume satirique pour attaquer ce qu'on appelait alors les « libres penseurs » (laïcs, sceptiques, agnostiques, athées, etc., bref, quiconque doutait des vérités de la religion chrétienne reçue). ou appelé à une diminution de la religion dans la vie publique). En 1732, dans le dernier volet de cet effort, Berkeley publia son Alciphron , une série de dialogues destinés à différents types de « libres penseurs ». L'un des archétypes auxquels Berkeley s'est adressé était le scientifique séculier, qui a rejeté les mystères chrétiens comme des superstitions inutiles et a déclaré sa confiance dans la certitude de la raison humaine et de la science. Contre ses arguments, Berkeley a monté une défense subtile de la validité et de l'utilité de ces éléments de la foi chrétienne.

Alciphron a été largement lu et a fait sensation. Mais c'est un commentaire désinvolte se moquant des arguments de Berkeley par l'astronome royal "libre-penseur" Sir Edmund Halley qui a incité Berkeley à reprendre son stylo et à essayer une nouvelle approche. Le résultat fut L'Analyste , conçu comme une satire attaquant les fondements des mathématiques avec la même vigueur et le même style que les « libres penseurs » attaquaient régulièrement les vérités religieuses.

Berkeley a cherché à démonter les mathématiques, a prétendu découvrir de nombreuses lacunes dans la preuve, a attaqué l'utilisation des infinitésimaux, la diagonale du carré unitaire, l'existence même des nombres, etc. Le propos général n'était pas tant de se moquer des mathématiques ou des mathématiciens, mais plutôt pour montrer que les mathématiciens, comme les chrétiens, s'appuyaient sur des « mystères » incompréhensibles dans les fondements de leur raisonnement. De plus, l'existence de ces « superstitions » n'était pas fatale au raisonnement mathématique, c'était même une aide. De même pour les fidèles chrétiens et leurs « mystères ». Berkeley a conclu que la certitude des mathématiques n'est pas plus grande que la certitude de la religion.

Teneur

L'analyste était une attaque directe sur les bases de calcul , en particulier sur la notion de Newton fluxions et sur Leibniz notion de de infinitésimale changement. Dans l'article 16, Berkeley critique

... la manière fallacieuse de procéder jusqu'à un certain point sur la supposition d'un incrément, puis de déplacer immédiatement votre supposition vers celle d'aucun incrément. . . Puisque si cette seconde supposition avait été faite devant la division commune par o , tout s'était évanoui à la fois, et vous n'avez rien dû obtenir par votre supposition. Alors que par cet Artifice de diviser d'abord, puis de changer votre Supposition, vous retenez 1 et nx n-1 . Mais, malgré toute cette adresse pour le couvrir, le sophisme est toujours le même.

Son passage le plus fréquemment cité :

Et que sont ces Fluxions ? Les vitesses des incréments évanescents ? Et quels sont ces mêmes Incréments évanescents ? Ce ne sont ni des Quantités finies ni des Quantités infiniment petites, ni encore rien. Ne pouvons-nous pas les appeler les fantômes des quantités disparues ?

Berkeley ne contestait pas les résultats du calcul ; il a reconnu que les résultats étaient vrais. L'idée maîtresse de sa critique était que le Tournesol n'était pas plus rigoureux sur le plan logique que la religion. Il a plutôt demandé si les mathématiciens "se soumettent à l'autorité, prennent les choses sur la confiance" tout comme les adeptes des principes religieux l'ont fait. Selon Burton, Berkeley a introduit une théorie ingénieuse des erreurs de compensation qui visaient à expliquer l'exactitude des résultats du calcul. Berkeley a soutenu que les praticiens du calcul avaient introduit plusieurs erreurs qui s'annulaient, laissant la bonne réponse. Selon ses propres termes, "en vertu d'une double erreur, vous arrivez, bien que non à la science, mais à la vérité".

Une analyse

L'idée que Newton était le destinataire prévu du discours est mise en doute par un passage qui apparaît vers la fin du livre : « Question 58 : Que ce soit vraiment un effet de la Pensée, que les mêmes Hommes admirent le grand auteur pour son Fluxions, et se moquer de lui pour sa Religion ? »

Ici, Berkeley ridiculise ceux qui célèbrent Newton (l'inventeur des "fluxions", à peu près équivalents aux différentiels des versions ultérieures du calcul différentiel) comme un génie tout en se moquant de sa religiosité bien connue. Puisque Berkeley attire ici explicitement l'attention sur la foi religieuse de Newton, cela semble indiquer qu'il ne voulait pas dire à ses lecteurs d'identifier le « mathématicien infidèle (c'est-à-dire manquant de foi) » avec Newton.

L'historienne des mathématiques Judith Grabiner commente : « Les critiques de Berkeley sur la rigueur du calcul étaient spirituelles, méchantes et - en ce qui concerne les pratiques mathématiques qu'il critiquait - essentiellement correctes ». Alors que ses critiques des pratiques mathématiques étaient solides, son essai a été critiqué pour des raisons logiques et philosophiques.

Par exemple, David Sherry soutient que la critique de Berkeley du calcul infinitésimal consiste en une critique logique et une critique métaphysique. La critique logique est celle d'une fallacia suppositionis , ce qui signifie gagner des points dans un argument au moyen d'une hypothèse et, tout en gardant ces points, en concluant l'argument avec une hypothèse contradictoire. La critique métaphysique est un défi à l'existence même de concepts tels que les fluxions, les moments et les infinitésimaux, et est enracinée dans la philosophie empiriste de Berkeley qui ne tolère aucune expression sans référent. Andersen (2011) a montré que la doctrine de Berkeley de la compensation des erreurs contient une circularité logique. À savoir, Berkeley s'appuie sur la détermination d'Apollonius de la tangente de la parabole dans la propre détermination de Berkeley de la dérivée de la fonction quadratique.

Influence

Deux ans après cette publication, Thomas Bayes publie anonymement « An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and a Defense of the Mathematicians Against the Objections of the Author of the Analyst » (1736), dans laquelle il défend le fondement logique du calcul d'Isaac Newton. contre les critiques exposées dans The Analyst . Le Traité des fluxions en deux volumes de Colin Maclaurin publié en 1742 a également commencé comme une réponse aux attaques de Berkeley, destiné à montrer que le calcul de Newton était rigoureux en le réduisant aux méthodes de la géométrie grecque.

Malgré ces tentatives, le calcul a continué à être développé en utilisant des méthodes non rigoureuses jusqu'aux environs de 1830, lorsque Augustin Cauchy , et plus tard Bernhard Riemann et Karl Weierstrass , ont redéfini la dérivée et l' intégrale en utilisant une définition rigoureuse du concept de limite . L'idée d'utiliser les limites comme fondement du calcul avait été suggérée par d'Alembert , mais la définition de d'Alembert n'était pas rigoureuse selon les normes modernes. La notion de limites était déjà apparue dans les travaux de Newton, mais n'était pas énoncée avec suffisamment de clarté pour résister à la critique de Berkeley.

En 1966, Abraham Robinson a introduit l'analyse non standard , qui a fourni une base rigoureuse pour travailler avec des quantités infiniment petites. Cela a fourni une autre façon de mettre le calcul sur une base mathématiquement rigoureuse, la façon dont il a été fait avant que la (ε, δ)-définition de la limite n'ait été complètement développée.

Fantômes de quantités disparues

Vers la fin de The Analyst, Berkeley aborde les justifications possibles des fondements du calcul que les mathématiciens peuvent mettre en avant. En réponse à l'idée que les fluxions pourraient être définies en utilisant des rapports ultimes de quantités de fuite, Berkeley a écrit :

Il faut, en effet, reconnaître que [Newton] a utilisé les Fluxions, comme l'échafaudage d'un bâtiment, comme des choses à mettre de côté ou à se débarrasser, dès que des lignes finies se sont trouvées proportionnelles à elles. Mais alors ces Exposants finis sont trouvés à l'aide de Fluxions. Tout ce qui est donc obtenu par de tels Exposants et Proportions doit être attribué aux Fluxions : ce qui doit donc être préalablement compris. Et que sont ces Fluxions ? Les vitesses des incréments évanescents ? Et quels sont ces mêmes Incréments évanescents ? Ce ne sont ni des Quantités finies ni des Quantités infiniment petites, ni encore rien. Ne pouvons-nous pas les appeler les Fantômes des Quantités disparues ?

Edwards décrit cela comme le point le plus mémorable du livre. Katz et Sherry soutiennent que l'expression visait à aborder à la fois les infinitésimaux et la théorie des fluxions de Newton.

Aujourd'hui, l'expression "fantômes de quantités disparues" est également utilisée pour discuter des attaques de Berkeley contre d'autres fondements possibles du calcul. En particulier , il est utilisé pour discuter des infinitésimaux , mais il est également utilisé pour discuter des différentiels et de l' adéquation .

Texte et commentaire

Le texte intégral de The Analyst peut être lu sur Wikisource , ainsi que sur le site Web de David R. Wilkins, qui comprend des commentaires et des liens vers les réponses des contemporains de Berkeley.

L'Analyste est également reproduit, avec des commentaires, dans des ouvrages récents :

  • De Kant à Hilbert de William Ewald : Un livre source dans les fondements des mathématiques .

Ewald conclut que les objections de Berkeley au calcul de son époque étaient pour la plupart bien prises à l'époque.

  • Vue d'ensemble de DM Jesseph dans les « Lanmark Writings in Western Mathematics » de 2005.

Les références

Sources

Liens externes