Surface minimale triplement périodique - Triply periodic minimal surface
En géométrie différentielle , une surface minimale triplement périodique (TPMS) est une surface minimale en ℝ 3 qui est invariante sous un réseau de translation de rang 3 .
Ces surfaces ont les symétries d'un groupe cristallographique . De nombreux exemples sont connus avec des symétries cubique, tétragonale , rhomboédrique et orthorhombique . Les exemples monocliniques et tricliniques existent certainement, mais se sont avérés difficiles à paramétrer.
Le TPMS est pertinent en sciences naturelles. Les TPMS ont été observés en tant que membranes biologiques, en tant que copolymères blocs , surfaces équipotentielles dans les cristaux, etc. Ils ont également été intéressants dans l'architecture, la conception et l'art.
Propriétés
Presque tous les TPMS étudiés sont exempts d'auto-intersections (c'est-à-dire incorporés dans ℝ 3 ): d'un point de vue mathématique, ils sont les plus intéressants (puisque les surfaces auto-sécantes sont trivialement abondantes).
Tous les TPMS connectés ont un genre ≥ 3, et dans chaque réseau il existe un TPMS intégré orientable de chaque genre ≥3.
Les TPMS intégrés sont orientables et divisent l'espace en deux sous-volumes disjoints (labyrinthes). S'ils sont congruents, on dit que la surface est une surface d'équilibre.
Histoire
Les premiers exemples de TPMS étaient les surfaces décrites par Schwarz en 1865, suivies d' une surface décrite par son élève ER Neovius en 1883.
En 1970, Alan Schoen a mis au point 12 nouveaux TPMS basés sur des graphiques squelettiques couvrant des cellules cristallographiques. Alors que les surfaces de Schoen sont devenues populaires en sciences naturelles, la construction ne s'est pas prêtée à une preuve d'existence mathématique et est restée largement inconnue en mathématiques, jusqu'à ce que H.Karcher prouve leur existence en 1989.
En utilisant des surfaces conjuguées, beaucoup plus de surfaces ont été trouvées. Alors que les représentations de Weierstrass sont connues pour les exemples les plus simples, elles ne sont pas connues pour de nombreuses surfaces. Au lieu de cela, des méthodes de géométrie différentielle discrète sont souvent utilisées.
Familles
La classification des TPMS est un problème ouvert.
Les TPMS viennent souvent dans des familles qui peuvent être continuellement déformées les unes dans les autres. Meeks a trouvé une famille explicite de 5 paramètres pour le TPMS du genre 3 qui contenait tous les exemples connus de surfaces du genre 3 à l'exception du gyroïde. Les membres de cette famille peuvent être continuellement déformés les uns dans les autres, restant intégrés dans le processus (bien que le réseau puisse changer). Le gyroïde et le lidinoïde font chacun partie d'une famille distincte à 1 paramètre.
Une autre approche pour classer les TPMS consiste à examiner leurs groupes spatiaux. Pour les surfaces contenant des lignes, les polygones de limites possibles peuvent être énumérés, fournissant une classification.
Généralisations
Des surfaces minimales périodiques peuvent être construites en S 3 et H 3 .
Il est possible de généraliser la division de l'espace en labyrinthes pour trouver des surfaces minimales triplement périodiques (mais éventuellement ramifiées) qui divisent l'espace en plus de deux sous-volumes.
Des surfaces minimales quasi-périodiques ont été construites en ℝ 2 × S 1 . Il a été suggéré mais non prouvé qu'il existe des surfaces minimales avec un ordre quasi - cristallin en ℝ 3 .
Galeries d'images externes
- Galerie TPMS par Ken Brakke [3]
- TPMS dans l'archive de surface minimale [4]
- Surfaces d'équilibre minimales triplement périodiques à symétrie cubique [5]
- Galerie de surfaces minimales périodiques [6]
- Surfaces minimales tri-périodiques sans auto-intersections [7]