Urelement - Urelement
En théorie des ensembles , une branche des mathématiques , un urelement ou ur-element (du préfixe allemand ur- , «primordial») est un objet qui n'est pas un ensemble , mais qui peut être un élément d'un ensemble. Il est également appelé atome ou individu .
Théorie
Il existe plusieurs façons différentes mais essentiellement équivalentes de traiter les éléments urinaires dans une théorie du premier ordre .
Une façon est de travailler dans une théorie du premier ordre avec deux sortes, ensembles et uéléments, avec a ∈ b uniquement défini lorsque b est un ensemble. Dans ce cas, si U est un urelement, cela n'a aucun sens de le dire , bien que cela soit parfaitement légitime.
Une autre façon est de travailler dans une théorie à un tri avec une relation unaire utilisée pour distinguer les ensembles et les éléments urinaires. Comme les ensembles non vides contiennent des membres alors que les urelements n'en contiennent pas, la relation unaire n'est nécessaire que pour distinguer l'ensemble vide des urelements. Notez que dans ce cas, l' axiome d'extensionnalité doit être formulé pour s'appliquer uniquement aux objets qui ne sont pas des éléments urinaires.
Cette situation est analogue aux traitements des théories des ensembles et des classes . En effet, les uelements sont en un certain sens duaux aux classes propres : les uelements ne peuvent pas avoir de membres alors que les classes propres ne peuvent pas être des membres. En d'autres termes, les uelements sont des objets minimaux tandis que les classes propres sont des objets maximaux par la relation d'appartenance (qui, bien sûr, n'est pas une relation d'ordre, donc cette analogie ne doit pas être prise à la lettre).
Urelements en théorie des ensembles
La théorie des ensembles de Zermelo de 1908 incluait des éléments urinaires, et c'est donc une version que nous appelons maintenant ZFA ou ZFCA (c'est-à-dire ZFA avec axiome de choix ). On s'est vite rendu compte que dans le contexte de cette théorie et des théories axiomatiques des ensembles étroitement liées , les éléments urinaires n'étaient pas nécessaires car ils peuvent facilement être modélisés dans une théorie des ensembles sans éléments urinaires. Ainsi, les exposés standards des théories canoniques des ensembles axiomatiques ZF et ZFC ne mentionnent pas les éléments urinaires. (Pour une exception, voir Suppes.) Les axiomatisations de la théorie des ensembles qui invoquent des uéléments incluent la théorie des ensembles de Kripke – Platek avec des éléments d'ur , et la variante de la théorie des ensembles de Von Neumann – Bernays – Gödel décrite par Mendelson. En théorie des types , un objet de type 0 peut être appelé un urelement; d'où le nom «atome».
L'ajout d'uréléments au système New Foundations (NF) pour produire du NFU a des conséquences surprenantes. En particulier, Jensen a prouvé la cohérence de NFU par rapport à l'arithmétique Peano ; pendant ce temps, la cohérence de NF par rapport à quoi que ce soit reste un problème ouvert, en attendant la vérification de la preuve de Holmes de sa cohérence par rapport à ZF. De plus, la NFU reste relativement cohérente lorsqu'elle est augmentée d'un axiome de l'infini et de l' axiome du choix . Pendant ce temps, la négation de l'axiome du choix est, curieusement, un théorème NF. Holmes (1998) prend ces faits comme une preuve que la NFU est une fondation plus efficace pour les mathématiques que la NF. Holmes soutient en outre que la théorie des ensembles est plus naturelle avec que sans éléments urinaires, puisque nous pouvons prendre comme éléments les objets de toute théorie ou de l' univers physique . Dans la théorie finitiste des ensembles , les éléments u sont mappés sur les composants de plus bas niveau du phénomène cible, tels que les constituants atomiques d'un objet physique ou les membres d'une organisation.
Atomes de quine
Une approche alternative aux uelements est de les considérer, plutôt que comme un type d'objet autre que des ensembles, comme un type particulier d'ensemble. Les atomes de quine (nommés d'après Willard Van Orman Quine ) sont des ensembles qui ne contiennent qu'eux-mêmes, c'est-à-dire des ensembles qui satisfont la formule x = { x }.
Les atomes de quine ne peuvent pas exister dans des systèmes de théorie des ensembles qui incluent l' axiome de régularité , mais ils peuvent exister dans une théorie des ensembles non fondée . La théorie des ensembles ZF avec l'axiome de régularité enlevé ne peut pas prouver que des ensembles non fondés existent (à moins qu'il ne soit incohérent, auquel cas il s'agira d'une déclaration arbitraire ), mais elle est compatible avec l'existence d'atomes de Quine. L'axiome anti-fondation d'Aczel implique qu'il existe un atome Quine unique. D'autres théories non fondées peuvent admettre de nombreux atomes de Quine distincts; à l'extrémité opposée du spectre se trouve l' axiome de la superuniversalité de Boffa , ce qui implique que les atomes Quine distincts forment une classe propre .
Les atomes de quine apparaissent également dans les nouvelles fondations de Quine , ce qui permet à plusieurs ensembles de ce type d'exister.
Les atomes de quine sont les seuls ensembles appelés ensembles réflexifs par Peter Aczel , bien que d'autres auteurs, par exemple Jon Barwise et Lawrence Moss utilisent ce dernier terme pour désigner la plus grande classe d'ensembles avec la propriété x ∈ x .