Saut à plage variable - Variable-range hopping

Le saut à plage variable est un modèle utilisé pour décrire le transport de porteurs dans un semi-conducteur désordonné ou dans un solide amorphe en sautant dans une plage de température étendue. Il a une dépendance de température caractéristique de

${\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {\ beta}}}$

où est un paramètre dépendant du modèle considéré. ${\ displaystyle \ beta}$

Saut à plage variable Mott

Le saut à plage variable de Mott décrit la conduction à basse température dans des systèmes fortement désordonnés avec des états localisés de porteurs de charge et a une dépendance de température caractéristique de

${\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {1/4}}}$

pour la conductance tridimensionnelle (avec = 1/4), et est généralisée à d -dimensions ${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {1 / (d + 1)}}}$ .

La conduction par sauts à basse température est d'un grand intérêt en raison des économies que l'industrie des semi-conducteurs pourrait réaliser si elle était capable de remplacer les dispositifs monocristallins par des couches de verre.

Dérivation

L'article original de Mott a introduit une hypothèse simplificatrice selon laquelle l'énergie de saut dépend inversement du cube de la distance de saut (dans le cas tridimensionnel). Plus tard, il a été montré que cette hypothèse n'était pas nécessaire, et cette preuve est suivie ici. Dans l'article original, la probabilité de saut à une température donnée dépendait de deux paramètres, R la séparation spatiale des sites et W , leur séparation d'énergie. Apsley et Hughes ont noté que dans un système vraiment amorphe, ces variables sont aléatoires et indépendantes et peuvent donc être combinées en un seul paramètre, l' intervalle entre deux sites, qui détermine la probabilité de sauter entre eux. ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}}}$

Mott a montré que la probabilité de sauter entre deux états de séparation spatiale et de séparation d'énergie W a la forme: ${\ displaystyle \ textstyle R}$

${\ displaystyle P \ sim \ exp \ left [-2 \ alpha R - {\ frac {W} {kT}} \ right]}$

où α ⁻¹ est la longueur d'atténuation pour une fonction d'onde localisée semblable à l'hydrogène. Cela suppose que le saut vers un état avec une énergie plus élevée est le processus de limitation de vitesse.

Nous définissons maintenant , la plage entre deux états, donc . Les états peuvent être considérés comme des points dans un tableau aléatoire à quatre dimensions (trois coordonnées spatiales et une coordonnée d'énergie), la "distance" entre eux étant donnée par la distance . ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}} = 2 \ alpha R + W / kT}$${\ displaystyle \ textstyle P \ sim \ exp (- {\ mathcal {R}})}$${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}}}$

La conduction est le résultat de nombreuses séries de sauts à travers ce réseau à quatre dimensions et comme les sauts à courte portée sont favorisés, c'est la "distance" moyenne du plus proche voisin entre les états qui détermine la conductivité globale. Ainsi la conductivité a la forme

${\ displaystyle \ sigma \ sim \ exp (- {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn})}$

où est la plage moyenne du plus proche voisin. Le problème est donc de calculer cette quantité. ${\ displaystyle \ textstyle {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn}}$

La première étape consiste à obtenir le nombre total d'états dans une plage d'un état initial au niveau de Fermi. Pour les dimensions d , et sous des hypothèses particulières, cela s'avère être ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {N}} ({\ mathcal {R}})}$${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {N}} ({\ mathcal {R}}) = K {\ mathcal {R}} ^ {d + 1}}$

où . Les hypothèses particulières sont simplement que c'est bien inférieur à la largeur de bande et confortablement plus grand que l'espacement interatomique. ${\ displaystyle \ textstyle K = {\ frac {N \ pi kT} {3 \ fois 2 ^ {d} \ alpha ^ {d}}}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn}}$

Alors la probabilité qu'un état avec range soit le plus proche voisin dans l'espace à quatre dimensions (ou en général l' espace ( d +1) -dimensionnel) est ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}}}$

${\ displaystyle P_ {nn} ({\ mathcal {R}}) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {N}} ({\ mathcal {R}})} {\ partial {\ mathcal {R}} }} \ exp [- {\ mathcal {N}} ({\ mathcal {R}})]}$

la distribution du plus proche voisin.

Pour le cas d- dimensionnel alors

${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn} = \ int _ {0} ^ {\ infty} (d + 1) K {\ mathcal {R}} ^ {d + 1} \ exp (-K {\ mathcal {R}} ^ {d + 1}) d {\ mathcal {R}}}$ .

Cela peut être évalué en faisant une simple substitution de dans la fonction gamma , ${\ displaystyle \ textstyle t = K {\ mathcal {R}} ^ {d + 1}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}$

Après un peu d'algèbre cela donne

${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn} = {\ frac {\ Gamma ({\ frac {d + 2} {d + 1}})} {K ^ {\ frac {1 } {d + 1}}}}}$

et par conséquent que

${\ displaystyle \ sigma \ propto \ exp \ left (-T ^ {- {\ frac {1} {d + 1}}} \ right)}$ .

Densité d'états non constante

Lorsque la densité d'états n'est pas constante (loi de puissance impaire N (E)), la conductivité de Mott est également récupérée, comme le montre cet article .

Saut à plage variable Efros – Shklovskii

Le saut de gamme variable Efros – Shklovskii (ES) est un modèle de conduction qui rend compte de l' écart de Coulomb , un petit saut dans la densité d'états près du niveau de Fermi dû aux interactions entre électrons localisés. Il a été nommé d'après Alexei L. Efros et Boris Shklovskii qui l'ont proposé en 1975.

La prise en compte de l'écart de Coulomb change la dépendance de la température en

${\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {1/2}}}$

pour toutes les dimensions (ie = 1/2). ${\ displaystyle \ beta}$

Voir également

• Bord de mobilité

Remarques