Les cercles de Villarceau - Villarceau circles

Cercles de Villarceau comme intersection d'un tore et d'un plan

Animation conceptuelle montrant comment un tore coupé en biais révèle une paire de cercles, appelés cercles de Villarceau

Dans la géométrie , les cercles Villarceau ( / v i l ɑːr s oʊ / ) sont une paire de cercles obtenus par découpe d' un tore en oblique à travers le centre selon un angle particulier. Étant donné un point arbitraire sur un tore, quatre cercles peuvent être tracés à travers lui. L'un est dans un plan parallèle au plan équatorial du tore et un autre perpendiculaire à ce plan (ceux-ci sont analogues aux lignes de latitude et de longitude sur la Terre). Les deux autres sont des cercles de Villarceau. Ils portent le nom de l' astronome et mathématicien français Yvon Villarceau (1813-1883). Mannheim (1903) a montré que les cercles de Villarceau rencontrent toutes les sections transversales circulaires parallèles du tore sous le même angle, un résultat qu'il a dit qu'un colonel Schoelcher avait présenté lors d'un congrès en 1891.

Exemple

Par exemple, supposons que le grand rayon du tore est 5 et le petit rayon 3. Cela signifie que le tore est le lieu de certains cercles de rayon trois dont les centres sont sur un cercle de rayon cinq dans le plan xy . Les points de ce tore satisfont à cette équation :

${\displaystyle 0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+16)^{2}-100(x^{2}+y^{2}).\,\! }$

Le découpage avec le plan z  = 0 produit deux cercles concentriques , x ²  +  y ²  = 2 ² et x ²  +  y ²  = 8 ² . Le découpage avec le plan x  = 0 produit deux cercles côte à côte, ( y  − 5) ²  +  z ²  = 3 ² et ( y  + 5) ²  +  z ²  = 3 ² .

Deux exemples de cercles de Villarceau peuvent être réalisés en tranchant avec le plan 3 x  = 4 z . L'un est centré en (0, +3, 0) et l'autre en (0, -3, 0) ; les deux ont un rayon cinq. Ils peuvent être écrits sous forme paramétrique comme

${\displaystyle (x,y,z)=(4\cos \vartheta ,+3+5\sin \vartheta ,3\cos \vartheta )\,\!}$

et

${\displaystyle (x,y,z)=(4\cos \vartheta ,-3+5\sin \vartheta ,3\cos \vartheta ).\,\!}$

Le plan de tranchage est choisi tangent au tore en deux points en passant par son centre. Il est tangente à ( ^seize / ₅ , 0,  ¹² / ₅ ) et au ( ^-16 / ₅ , ^{0, -12} / ₅ ). L'angle de tranchage est uniquement déterminé par les dimensions du tore choisi. La rotation de l'un de ces plans autour de l' axe z donne tous les cercles de Villarceau pour ce tore.

Existence et équations

Tore : cercles de Villarceau
Pour la photo du bas la projection est orthogonale au plan de coupe. D'où la vraie forme des cercles apparaissent.

Tore avec deux crayons de cercles de Villarceau

Cercles de Villarceau (magenta, vert) passant par un point donné (rouge). Pour tout point, il existe 4 cercles sur le tore contenant le point.

Une preuve de l'existence des cercles peut être construite à partir du fait que le plan de coupe est tangent au tore en deux points. Une caractérisation d'un tore est qu'il s'agit d'une surface de révolution . Sans perte de généralité , choisissez un repère de façon à ce que l'axe de révolution soit l' axe z . Commencez par un cercle de rayon r dans le plan xz , centré en ( R , 0, 0).

${\displaystyle 0=(xR)^{2}+z^{2}-r^{2}\,\!}$

Le balayage remplace x par ( x ²  +  y ² ) ^1/2 , et l' effacement de la racine carrée produit une équation quartique .

${\displaystyle 0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}-4R^{2}(x^{ 2}+y^{2}).\,\!}$

La section transversale de la surface balayée dans le plan xz comprend désormais un deuxième cercle.

${\displaystyle 0=(x+R)^{2}+z^{2}-r^{2}\,\!}$

Cette paire de cercles a deux lignes tangentes internes communes , avec une pente à l'origine trouvée à partir du triangle rectangle avec l' hypoténuse R et le côté opposé r (qui a son angle droit au point de tangence). Ainsi z / x est égal à ± r  / ( R ²  −  r ² ) ^1/2 , et le choix du signe plus produit l'équation d'un plan bitangent au tore.

${\displaystyle 0=xr-z{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\,\!}$

Par symétrie, les rotations de ce plan autour de l' axe z donnent tous les plans bitangents passant par le centre. (Il existe aussi des plans horizontaux tangents au haut et au bas du tore, dont chacun donne un « double cercle », mais pas des cercles de Villarceau.)

${\displaystyle 0=xr\cos \varphi +yr\sin \varphi -z{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\,\!}$

On peut calculer analytiquement l'intersection du ou des plans avec le tore, et montrer ainsi que le résultat est une paire de cercles symétriques, dont l'un est un cercle de rayon R centré à

${\displaystyle (-r\sin \varphi ,r\cos \varphi ,0).\,\!}$

Un traitement dans ce sens peut être trouvé dans Coxeter (1969).

Une approche plus abstraite — et plus flexible — a été décrite par Hirsch (2002), utilisant la géométrie algébrique dans un cadre projectif. Dans l'équation quartique homogène du tore,

${\displaystyle 0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}w^{2}-r^{2}w^{2})^{2} -4R^{2}w^{2}(x^{2}+y^{2}),\,\!}$

mettre w à zéro donne l'intersection avec le "plan à l'infini", et réduit l'équation à

${\displaystyle 0=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}.\,\!}$

Cette intersection est un point double, en fait un point double compté deux fois. De plus, il est inclus dans chaque avion bitangent. Les deux points de tangence sont aussi des points doubles. Ainsi, la courbe d'intersection, dont la théorie dit qu'elle doit être une quartique, contient quatre points doubles. Mais on sait aussi qu'une quartique avec plus de trois points doubles doit se factoriser (elle ne peut pas être irréductible ), et par symétrie les facteurs doivent être deux coniques congruentes . Hirsch étend cet argument à toute surface de révolution générée par une conique, et montre que l'intersection avec un plan bitangent doit produire deux coniques du même type que la génératrice lorsque la courbe d'intersection est réelle.

Espace de remplissage

Le tore joue un rôle central dans la fibration de Hopf de la 3-sphère, S ³ , sur la sphère ordinaire, S ² , qui a des cercles, S ¹ , comme fibres. Lorsque la 3-sphère est mappée à l' espace euclidien 3- par projection stéréographique , l'image inverse d'un cercle de latitude sur S ² sous la carte des fibres est un tore, et les fibres elles-mêmes sont des cercles de Villarceau. Banchoff (1990) a exploré un tel tore avec l'imagerie informatique. L'un des faits inhabituels des cercles est que chacun se relie à travers tous les autres, non seulement dans son propre tore mais dans la collection remplissant tout l'espace; Berger (1987) a une discussion et un dessin.

Voir également

• Section torique
• Vesica piscis

Les références

• Banchoff, Thomas F. (1990). Au-delà de la troisième dimension . Bibliothèque scientifique américaine. ISBN 978-0-7167-5025-3.
• Berger, Marcel (1987). "§18.9 : Cercles de Villarceau et parataxie". Géométrie II . Springer. p. 304-305. ISBN 978-3-540-17015-0.
• Coxeter, HSM (1969). Introduction à la géométrie (2/e éd.). Wiley. p.  132-133 . ISBN 978-0-471-50458-0.
• Hirsch, Anton (2002). "Extension du 'Section Villarceau' aux Surfaces de Révolution à Conique Générateur" . Journal pour la géométrie et les graphiques . Lemgo, Allemagne : Heldermann Verlag. 6 (2) : 121–132. ISSN  1433-8157 .
• Mannheim, MA (1903). "Sur le théorème de Schoelcher". Nouvelles Annales de Mathématiques . Paris : Carilian-Gœury et Vor. Dalmont. 4e série, tome 3 : 105-107.
• Stachel, Hellmuth (2002). "Remarques sur l'article d'A. Hirsch concernant les sections de Villarceau" . Journal pour la géométrie et les graphiques . Lemgo, Allemagne : Heldermann Verlag. 6 (2) : 133-139. ISSN  1433-8157 .
• Yvon Villarceau, Antoine Joseph François (1848). "Théorème sur le tore". Nouvelles Annales de Mathématiques . Série 1. Paris : Gauthier-Villars. 7 : 345-347. OCLC : 2449182.

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Cercles de Villarceau" . MathWorld .
• Tore plat dans la trois-sphère
• (en français) Les cercles du tore ( Les cercles du tore )