Surface de révolution - Surface of revolution

Une surface de révolution est une surface dans l' espace euclidien créée en faisant tourner une courbe (la génératrice ) autour d'un axe de rotation .

Des exemples de surfaces de révolution générées par une droite sont des surfaces cylindriques et coniques selon que la droite est parallèle ou non à l'axe. Un cercle qui tourne autour d'un diamètre quelconque génère une sphère dont il est alors un grand cercle , et si le cercle tourne autour d'un axe qui ne coupe pas l'intérieur d'un cercle, alors il génère un tore qui ne se coupe pas ( un tore annulaire ).

Propriétés

Les sections de la surface de révolution faites par des plans passant par l'axe sont appelées sections méridionales . Toute section méridienne peut être considérée comme la génératrice dans le plan déterminé par elle et l'axe.

Les sections de la surface de révolution faites par des plans perpendiculaires à l'axe sont des cercles.

Certains cas particuliers d' hyperboloïdes (à un ou deux feuillets) et de paraboloïdes elliptiques sont des surfaces de révolution. Celles-ci peuvent être identifiées comme ces surfaces quadratiques dont toutes les sections transversales perpendiculaires à l'axe sont circulaires.

Formule de zone

Si la courbe est décrite par les fonctions paramétriques x ( t ) , y ( t ) , avec t s'étendant sur un certain intervalle [ a , b ] , et l'axe de révolution est l'axe des y , alors l'aire A _y est donnée par l' intégrale

${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left ({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,}$

à condition que x ( t ) ne soit jamais négatif entre les extrémités a et b . Cette formule est l'équivalent en calcul du théorème centroïde de Pappus . La quantité

${\displaystyle {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}}$

vient du théorème de Pythagore et représente un petit segment de l'arc de la courbe, comme dans la formule de la longueur de l' arc . La quantité 2π x ( t ) est le chemin de (le centre de gravité de) ce petit segment, comme l'exige le théorème de Pappus.

De même, lorsque l'axe de rotation est l'axe des x et à condition que y ( t ) ne soit jamais négatif, l'aire est donnée par

${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left ({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.}$

Si la courbe continue est décrite par la fonction y = f ( x ) , un ≤ x ≤ b , puis l'intégrale devient

${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}} \,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\, dx}$

pour la révolution autour de l' axe x , et

${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}} \,dx}$

pour la révolution autour de l' axe des y (à condition que a 0 ). Ceux-ci proviennent de la formule ci-dessus.

Par exemple, la surface sphérique de rayon unitaire est générée par la courbe y ( t ) = sin( t ) , x ( t ) = cos( t ) , lorsque t est supérieur à [0,π] . Sa superficie est donc

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big ) }^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi } \sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}}$

Pour le cas de la courbe sphérique de rayon r , y ( x ) = √ r ² − x ² tourné autour de l' axe x

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt { 1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{ r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx \\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&{}=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}}$

Une surface de révolution minimale est la surface de révolution de la courbe entre deux points donnés qui minimise la surface . Un problème fondamental dans le calcul des variations est de trouver la courbe entre deux points qui produit cette surface de révolution minimale.

Il n'y a que deux surfaces de révolution minimales ( surfaces de révolution qui sont aussi des surfaces minimales) : le plan et le caténoïde .

Expressions de coordonnées

Une surface de révolution donnée par la rotation d'une courbe décrite par autour de l'axe x peut être décrite plus simplement en coordonnées cylindriques par . En coordonnées cartésiennes, cela donne la paramétrisation en termes de et comme . Si à la place nous faisons tourner la courbe autour de l'axe des y, alors la courbe est décrite en coordonnées cylindriques par , ce qui donne l'expression en termes de paramètres et . ${\style d'affichage y=f(x)}$${\style d'affichage r=f(z)}$${\style d'affichage z}$${\displaystyle \theta }$${\style d'affichage (f(z)\cos(\theta ),f(z)\sin(\theta ),z)}$${\style d'affichage z=f(r)}$${\displaystyle (r\cos(\theta ),r\sin(\theta ),f(r))}$${\style d'affichage r}$${\displaystyle \theta }$

Si x et y sont définis en termes de paramètre , alors on obtient une paramétrisation en termes de et . Si et sont des fonctions de , alors la surface de révolution obtenue en faisant tourner la courbe autour de l'axe des x est décrite en coordonnées cylindriques par l'équation paramétrique , et la surface de révolution obtenue en faisant tourner la courbe autour de l'axe des y est décrite par . En coordonnées cartésiennes, celles-ci deviennent (respectivement) et . Les formules ci-dessus pour la surface suivent alors en prenant l' intégrale de surface de la fonction constante 1 sur la surface en utilisant ces paramétrisations. ${\style d'affichage t}$${\style d'affichage t}$${\displaystyle \theta }$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage t}$${\displaystyle (r,\theta ,z)=(y(t),\theta ,x(t))}$${\displaystyle (r,\theta ,z)=(x(t),\theta ,y(t))}$${\style d'affichage (y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t))}$${\style d'affichage (x(t)\cos(\theta ),x(t)\sin(\theta ),y(t))}$

Géodésiques

Les méridiens sont toujours des géodésiques sur une surface de révolution. D'autres géodésiques sont régies par la relation de Clairaut .

Tores

Une surface de révolution avec un trou, où l'axe de révolution ne coupe pas la surface, est appelée un tore. Par exemple, lorsqu'un rectangle est tourné autour d'un axe parallèle à l'un de ses bords, alors un anneau de section carrée creux est produit. Si la figure de révolution est un cercle , alors l'objet est appelé un tore .

Applications

L'utilisation de surfaces de révolution est essentielle dans de nombreux domaines de la physique et de l'ingénierie. Lorsque certains objets sont conçus numériquement, des révolutions comme celles-ci peuvent être utilisées pour déterminer la surface sans avoir à mesurer la longueur et le rayon de l'objet en cours de conception.

Voir également

• Surface du canal , une généralisation d'une surface de révolution
• Corne de Gabriel
• Hélicoïde généralisé
• Citron (géométrie) , surface de révolution d'un arc de cercle
• Surface de Liouville , une autre généralisation d'une surface de révolution
• Solide de révolution
• Sphéroïde
• Intégrale surfacique
• Surface de translation (géométrie différentielle)

Les références

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Surface de Révolution" . MathWorld .
• "Surface de révolution" . Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables .