Classement de Wigner - Wigner's classification

En mathématiques et en physique théorique , la classification de Wigner est une classification des représentations unitaires irréductibles à énergie non négative du groupe de Poincaré qui ont des valeurs propres de masse nettes . (Étant donné que ce groupe n'est pas compact, ces représentations unitaires sont de dimension infinie.) Il a été introduit par Eugene Wigner pour classer les particules et les champs en physique — voir l'article physique des particules et théorie des représentations . Il repose sur les sous-groupes stabilisateurs de ce groupe, surnommés les petits groupes de Wigner de divers états de masse. ${\style d'affichage ~(~E\geq 0~)~}$

Les invariants de Casimir du groupe de Poincaré sont ( notation d'Einstein ) où P est l' opérateur à 4 impulsions et où W est le pseudovecteur de Pauli-Lubanski . Les valeurs propres de ces opérateurs servent à étiqueter les représentations. Le premier est associé à la masse au carré et le second à l' hélicité ou au spin . ${\displaystyle ~C_{1}=P^{\mu }\,P_{\mu }~,}$${\displaystyle ~C_{2}=W^{\alpha }\,W_{\alpha }~,}$

Les représentations physiquement pertinentes peuvent ainsi être classées selon que

• ${\displaystyle ~m>0~;}$
• ${\style d'affichage ~m=0~}$mais ou si${\displaystyle ~P_{0}>0~;\quad }$
• ${\style d'affichage ~m=0~}$ avec ${\displaystyle ~P^{\mu }=0~,{\text{ for }}\mu =0,1,2,3~.}$

Wigner a découvert que les particules sans masse sont fondamentalement différentes des particules massives.

Pour le premier cas

Notez que l' espace propre (voir espaces propres généralisés des opérateurs non bornés ) associé à est une représentation de SO(3) .${\style d'affichage ~P=(m,0,0,0)~}$

Dans l' interprétation des rayons , on peut passer à Spin(3) à la place. Ainsi, les états massifs sont classés par une représentation unitaire Spin(3) irréductible qui caractérise leur spin , et une masse positive, m .

Pour le deuxième cas

Regardez le stabilisateur de

${\displaystyle ~P=(k,0,0,-k)~.}$

C'est la double couverture de SE(2) (voir représentation du rayon unitaire ). Nous avons deux cas, l'un où irreps est décrit par un multiple entier de1/2appelé l' hélicité , et l'autre appelé la représentation « spin continu ».

• Le dernier cas décrit le vide . La seule solution unitaire de dimension finie est la représentation triviale appelée le vide.

Champs scalaires massifs

A titre d'exemple, visualisons la représentation unitaire irréductible avec et Elle correspond à l'espace des champs scalaires massifs . ${\style d'affichage ~m>0~,}$${\style d'affichage ~s=0~.}$

Soit M le feuillet hyperboloïde défini par :

${\displaystyle ~P_{0}^{2}-P_{1}^{2}-P_{2}^{2}-P_{3}^{2}=m^{2}~,\quad }$ ${\style d'affichage ~P_{0}>0~.}$

La métrique de Minkowski se restreint à une métrique riemannienne sur M , donnant à M la structure métrique d'un espace hyperbolique , en particulier c'est le modèle hyperboloïde de l'espace hyperbolique, voir géométrie de l'espace de Minkowski pour preuve. Le groupe de Poincaré P agit sur M car (en oubliant l'action du sous-groupe de translation ℝ ⁴ avec addition à l'intérieur de P ) il préserve le produit scalaire de Minkowski , et un élément x du sous-groupe de translation ℝ ⁴ du groupe de Poincaré agit sur par multiplication par convenable multiplicateurs de phase où Ces deux actions peuvent être combinées de manière astucieuse en utilisant des représentations induites pour obtenir une action de P agissant sur qui combine les mouvements de M et la multiplication de phase. ${\style d'affichage ~L^{2}(M)~}$${\displaystyle ~\exp \left(-i{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)~,}$${\displaystyle ~p\in M~.}$${\style d'affichage ~L^{2}(M)~,}$

Ceci conduit à une action du groupe de Poincaré sur l'espace des fonctions carrées intégrables définies sur l'hypersurface M dans l'espace de Minkowski. Celles-ci peuvent être considérées comme des mesures définies sur l'espace de Minkowski qui sont concentrées sur l'ensemble M défini par

${\displaystyle E^{2}-P_{1}^{2}-P_{2}^{2}-P_{3}^{2}=m^{2}~,\quad }$ ${\displaystyle ~E~\equiv ~P_{0}>0~.}$

La transformée de Fourier (dans les quatre variables) de ces mesures donne des solutions à énergie positive et à énergie finie de l'équation de Klein-Gordon définie sur l'espace de Minkowski, à savoir

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +m^{2}\psi =0,}$

sans unités physiques. De cette façon, la représentation irréductible du groupe de Poincaré est réalisée par son action sur un espace convenable de solutions d'une équation d'onde linéaire. ${\displaystyle ~m>0,\quad s=0~}$

La théorie des représentations projectives

Physiquement, on s'intéresse aux représentations unitaires projectives irréductibles du groupe de Poincaré. Après tout, deux vecteurs dans l'espace quantique de Hilbert qui diffèrent par multiplication par une constante représentent le même état physique. Ainsi, deux opérateurs unitaires qui diffèrent par un multiple de l'identité ont la même action sur les états physiques. Par conséquent, les opérateurs unitaires qui représentent la symétrie de Poincaré ne sont définis qu'à une constante près - et donc la loi de composition de groupe n'a besoin de tenir que jusqu'à une constante.

D'après le théorème de Bargmann , toute représentation unitaire projective du groupe de Poincaré vient pour une représentation unitaire ordinaire de sa couverture universelle, qui est une double couverture. (Le théorème de Bargmann s'applique car la double couverture du groupe de Poincaré n'admet aucune extension centrale unidimensionnelle non triviale .)

Le passage au double couvercle est important car il permet des cas de spins demi-entiers impairs. Dans le cas de masse positive, par exemple, le petit groupe est SU(2) plutôt que SO(3) ; les représentations de SU(2) incluent alors à la fois des cas de spins entiers et demi-entiers impairs.

Comme le critère général du théorème de Bargmann n'était pas connu lorsque Wigner a fait sa classification, il a dû montrer à la main (§5 de l'article) que les phases peuvent être choisies dans les opérateurs pour refléter la loi de composition dans le groupe, jusqu'à un signe, qui s'explique ensuite par le passage au double couvercle du groupe Poincaré.

Classement supplémentaire

Les solutions tachyoniques , les solutions sans masse fixe, les infraparticules sans masse fixe, etc., sont exclues de cette classification . De telles solutions ont une importance physique lorsqu'on considère des états virtuels. Un exemple célèbre est le cas de la diffusion inélastique profonde , dans laquelle un photon de type espace virtuel est échangé entre le lepton entrant et le hadron entrant . Ceci justifie l'introduction de photons polarisés transversalement et longitudinalement, et du concept connexe de fonctions de structure transversale et longitudinale, lorsque l'on considère ces états virtuels comme des sondes efficaces du contenu interne en quarks et gluons des hadrons. D'un point de vue mathématique, on considère le groupe SO(2,1) au lieu du groupe SO(3) habituel rencontré dans le cas massif habituel discuté ci-dessus. Ceci explique l'apparition de deux vecteurs de polarisation transverses et qui satisfont et à comparer au cas habituel d'un boson libre qui a trois vecteurs de polarisation satisfaisant chacun${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{\lambda =1,2}~}$${\displaystyle ~\epsilon _{L}~}$${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{2}=-1~}$${\displaystyle ~\epsilon _{L}^{2}=+1~,}$${\style d'affichage ~Z_{0}~}$${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{\lambda }{\text{ for }}\lambda =1,2,3~;}$${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{2}=-1~.}$

Voir également

• Représentation induite
• Théorie des représentations du groupe des difféomorphismes
• Théorie des représentations du groupe galiléen
• Théorie des représentations du groupe de Poincaré
• Système d'imprimitivité
• Pseudovecteur de Pauli-Lubanski

Les références

• Bargmann, V. ; Wigner, EP (1948). "Discussion théorique de groupe des équations d'onde relativistes" . Actes de l'Académie nationale des sciences des États-Unis d'Amérique . 34 (5) : 211-223. Bibcode : 1948PNAS ... 34..211B . doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC  1079095 . PMID  16578292 .

• Mackey, George (1978). Représentations de groupes unitaires en physique, probabilités et théorie des nombres . Série de notes de cours de mathématiques. 55 . La maison d'édition Benjamin/Cummings . ISBN 978-0805367034.

• Sternberg, Shlomo (1994). "§3.9. Classement de Wigner". Théorie des groupes et physique . Presse de l'Université de Cambridge . ISBN 978-0521248709.

• Tung, Wu-Ki (1985). "Chapitre 10. Représentations du groupe de Lorentz et du groupe de Poincaré; classification de Wigner". Théorie des groupes en physique . Société d'édition scientifique mondiale . ISBN 978-9971966577.

• Weinberg, S. (2002). [ "Chapitre 2. Mécanique quantique relativiste" Valeur de contrôle |chapter-url=( aide ) . La théorie quantique des champs . je . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 0-521-55001-7.

• Wigner, EP (1939). « Sur les représentations unitaires du groupe inhomogène de Lorentz ». Annales de mathématiques . 40 (1) : 149-204. Bibcode : 1939AnMat..40..149W . doi : 10.2307/1968551 . JSTOR  1968551 . MR  1503456 .