Théorie des représentations du groupe galiléen - Representation theory of the Galilean group

Dans la mécanique quantique non relativiste , un compte peut être rendu compte de l'existence de la masse et du spin (normalement expliqué dans la classification de Wigner de la mécanique relativiste) en termes de théorie des représentations du groupe galiléen , qui est le groupe de symétrie espace-temps de la mécanique quantique non relativiste.

En $3 + 1$ dimensions, c'est le sous-groupe du groupe affine sur ( $t, x, y, z$ ), dont la partie linéaire laisse invariants à la fois la métrique ( $g μν = diag(1, 0, 0, 0)$ ) et la métrique double (indépendante) ( $g μν = diag(0, 1, 1, 1)$ ). Une définition similaire s'applique pour $n + 1$ dimensions.

Nous sommes intéressés par les représentations projectives de ce groupe, qui sont équivalentes aux représentations unitaires de la non triviale extension centrale du groupe de revêtement universel du groupe galiléen par le groupe de Lie une dimension $R$ , cf. l'article Groupe galiléen pour l' extension centrale de son algèbre de Lie . La méthode des représentations induites sera utilisée pour sonder ces derniers.

Nous nous concentrons ici sur l'algèbre de Lie (extension centrale, Bargmann), car elle est plus simple à analyser et nous pouvons toujours étendre les résultats à l'ensemble du groupe de Lie grâce au théorème de Frobenius .

{\style d'affichage [E,P_{i}]=0}

{\style d'affichage [P_{i},P_{j}]=0}

{\style d'affichage [L_{ij},E]=0}

{\style d'affichage [C_{i},C_{j}]=0}

[L_{ij},L_{kl}]=i\hbar [\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il }+\delta _{jl}L_{ik}]

[L_{ij},P_{k}]=i\hbar [\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]

[L_{ij},C_{k}]=i\hbar [\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]

[C_{i},E]=i\hbar P_{i}

[C_{i},P_{j}]=i\hbar M\delta _{ij}~.

$E$ est le générateur de translations temporelles ( hamiltonien ), P _i est le générateur de translations ( opérateur moment ), C _i est le générateur de boosts galiléens et L _ij représente un générateur de rotations ( opérateur moment angulaire ). La charge centrale $M$ est un invariant de Casimir .

L'invariant masse-coque

ME-{P^{2} \over 2}

est un invariant de Casimir supplémentaire .

En $3 + 1$ dimensions, un troisième invariant de Casimir est $W 2$ , où

{\vec {W}}\equiv M{\vec {L}}+{\vec {P}}\times {\vec {C}}~,

quelque peu analogue au pseudo-vecteur de Pauli-Lubanski de la mécanique relativiste.

Plus généralement, en $n +1$ dimensions, les invariants seront fonction de

W_{ij}=ML_{ij}+P_{i}C_{j}-P_{j}C_{i}

et

W_{ijk}=P_{i}L_{jk}+P_{j}L_{ki}+P_{k}L_{ij}~,

ainsi que de l'invariant masse-coque et de la charge centrale ci-dessus.

En utilisant le lemme de Schur , dans une représentation unitaire irréductible , tous ces invariants de Casimir sont des multiples de l'identité. Appelez ces coefficients $m$ et $mE 0$ et (dans le cas de dimensions $3 + 1$ ) $w$ , respectivement. En rappelant que nous considérons ici des représentations unitaires, nous voyons que ces valeurs propres doivent être des nombres réels .

Ainsi, $m > 0$ , $m = 0$ et $m < 0$ . (Le dernier cas est similaire au premier.) En dimensions $3 + 1$ , lorsque In $m > 0$ , on peut écrire, $w = ms$ pour le troisième invariant, où $s$ représente le spin, ou moment cinétique intrinsèque. Plus généralement, en $n +1$ dimensions, les génératrices $L$ et $C$ seront reliées respectivement au moment cinétique total et au moment au centre de masse par

W_{ij}=MS_{ij}

L_{ij}=S_{ij}+X_{i}P_{j}-X_{j}P_{i}

C_{i}=MX_{i}-P_{i}t~.

D'un point de vue purement théorique des représentations, il faudrait étudier toutes les représentations ; mais, ici, nous ne nous intéressons qu'aux applications à la mécanique quantique. Là, $E$ représente l' énergie , qui doit être bornée en dessous, si la stabilité thermodynamique est requise. Considérons d'abord le cas où $m$ est non nul.

Considérant l' espace ( $E$ , P → ) avec la contrainte

mE=mE_{0}+{P^{2} \over 2}~,

on voit que les boosts galiléens agissent transitivement sur cette hypersurface. En fait, en traitant l'énergie $E$ comme l'Hamiltonien, en la différenciant par rapport à $P$ , et en appliquant les équations de Hamilton, on obtient la relation masse-vitesse $m v \to = P \to$ .

L'hypersurface est paramétrée par cette vitesse In $v \to$ . Considérons le stabilisateur d'un point sur l' orbite , ( $E 0, 0$ ), où la vitesse est $0$ . En raison de la transitivité, nous savons que l' irrép unitaire contient un sous-espace linéaire non trivial avec ces valeurs propres énergie-impulsion. (Ce sous-espace n'existe que dans un espace de Hilbert truqué , car le spectre de quantité de mouvement est continu.)

Le sous-espace est couvert par $E$ , $P$ $\to$ , $M$ et $L$ $ij$ . Nous savons déjà comment le sous-espace de l'irrép se transforme sous tous les opérateurs sauf le moment cinétique . Notez que le sous-groupe de rotation est Spin(3) . Il faut regarder sa double couverture , car on envisage des représentations projectives. C'est ce qu'on appelle le petit groupe , un nom donné par Eugene Wigner . Sa méthode de représentations induites précise que l'irrép est donné par la somme directe de toutes les fibres d'un fibré vectoriel sur l' hypersurface $mE$ $=$ $mE$ $0$ $+$ $P$ $2$ $/2$ , dont les fibres sont un irrép unitaire de $Spin(3)$ .

$Spin(3)$ n'est autre que $SU(2)$ . (Voir la théorie des représentations de SU(2) , où il est montré que les irréps unitaires de $SU(2)$ sont étiquetés par $s$ , un multiple entier non négatif de la moitié. C'est ce qu'on appelle spin , pour des raisons historiques.)

Par conséquent, pour $m 0$ , les irréps unitaires sont classés par $m$ , $E 0$ et un spin $s$ .
En regardant le spectre de $E$ , il est évident que si $m$ est négatif, le spectre de $E$ n'est pas borné en dessous. Par conséquent, seul le cas avec une masse positive est physique.
Considérons maintenant le cas $m = 0$ . Par unitarité,

mE-{P^{2} \over 2}={-P^{2} \over 2}

est non positif. Supposons qu'il soit nul. Ici, ce sont aussi les boosts ainsi que les rotations qui constituent le petit groupe. Tout irrep unitaire de ce petit groupe donne aussi lieu à un irrep projectif du groupe galiléen. Autant que l'on sache, seul le cas qui se transforme trivialement sous le petit groupe a une interprétation physique, et il correspond à l'état sans particule, le vide .

Le cas où l'invariant est négatif nécessite un commentaire supplémentaire. Cela correspond à la classe de représentation pour $m$ = 0 et $P$ non nul $\to$ . En prolongeant la classification bradyon , luxon , tachyon de la théorie des représentations du groupe de Poincaré à une classification analogue, on peut ici appeler ces états synchronis . Ils représentent un transfert instantané de quantité de mouvement non nulle sur une distance (éventuellement grande). Associé à eux, par ci-dessus, est un opérateur "temps"

t=-{{\vec {P}}\cdot {\vec {C}} \over P^{2}}~,

qui peut être identifié avec le moment du transfert. Ces états sont naturellement interprétés comme porteurs de forces instantanées d'action à distance.

NB Dans le groupe Galilei à $3 + 1$ dimensions, le générateur de suralimentation peut être décomposé en

{\vec {C}}={{\vec {W}}\times {\vec {P}} \over P^{2}}-{\vec {P}}t~,

avec W → jouant un rôle analogue à l' hélicité .

Voir également

Les références

Bargmann, V. (1954). "On Unitary Ray Representations of Continuous Groups", Annals of Mathematics , Second Series, 59 , No. 1 (janvier 1954), pp. 1–46
Lévy-Leblond, Jean-Marc (1967), "Nonrelativistic Particles and Wave Equations" (PDF) , Communications in Mathematical Physics , Springer, 6 (4) : 286–311 , Bibcode : 1967CMaPh...6..286L , doi : 10.1007/bf01646020.
Ballentine, Leslie E. (1998). La mécanique quantique, un développement moderne . World Scientific Publishing Co Pte Ltd. ISBN 981-02-4105-4.
Gilmore, Robert (2006). Groupes de mensonges, algèbres de mensonges et certaines de leurs applications (Dover Books on Mathematics) ISBN 0486445291

Languages

In other projects

Théorie des représentations du groupe galiléen - Representation theory of the Galilean group

Voir également

Les références