Mesure jeune - Young measure
Dans l'analyse mathématique , une mesure Young est une mesure paramétrée associée à certaines sous-séquences d'une séquence bornée donnée de fonctions mesurables. Ils sont une quantification de l'effet d'oscillation de la séquence dans la limite. Les mesures Young ont des applications dans le calcul des variations , en particulier les modèles de la science des matériaux, et l'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires , ainsi que dans diverses optimisations (ou problèmes de contrôle optimal ). Ils portent le nom de Laurence Chisholm Young qui les a inventés, déjà en 1937 dans une dimension (courbes) et plus tard dans des dimensions supérieures en 1942
Définition
Nous laissons être une séquence bornée in , où désigne un sous-ensemble borné ouvert de . Ensuite , il existe une sous et pour presque tous une mesure de probabilité Borel sur telle que pour chaque nous avons faiblement dans si la limite existe faible (ou étoile faiblement en cas de ). Les mesures sont appelées les mesures Young générées par la séquence . Plus généralement pour toute fonction Caratheodory la limite de si elle existe sera donnée par
L'idée originale de Young dans le cas où est en était de considérer le graphe des fonctions et de considérer la mesure uniforme concentrée sur cette surface disons , (voici la restriction de la mesure de Lebesgue sur ) et en prenant la limite en étoile faible de ces mesures comme éléments de nous aurons où est la limite faible mentionnée. après une désintégration de la mesure sur l'espace produit, nous obtenons la mesure paramétrée .
Exemple
Pour chaque séquence minimisant de sujet à , la séquence de dérivés génère les mesures de Young . Cela capture les caractéristiques essentielles de toutes les séquences de minimisation de ce problème, à savoir le développement de pentes de plus en plus fines de (ou proches de ).
Les références
- Ball, JM (1989). "Une version du théorème fondamental pour les mesures de Young". Dans Rascle, M .; Serre, D.; Slemrod, M. (éd.). PDE et modèles continus de transition de phase . Notes de cours en physique . 344 . Berlin: Springer. 207–215.
- C. Castaing, P. Raynaud de Fitte, M. Valadier (2004). Young mesures sur les espaces topologiques . Dordrecht: Kluwer. CS1 maint: noms multiples: liste des auteurs ( lien )
- LC Evans (1990). Méthodes de convergence faibles pour les équations aux dérivées partielles non linéaires . Série de conférences régionales en mathématiques. Société mathématique américaine .
- S. Müller (1999). Modèles variationnels pour la microstructure et les transitions de phase . Notes de cours en mathématiques. Springer .
- P. Pedregal (1997). Mesures paramétrées et principes variationnels . Bâle: Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-9815-7 .
- T. Roubíček (2020). Relaxation in Optimization Theory and Variational Calculus (2e éd.) . Berlin: W. de Gruyter. ISBN 3-11-014542-1 .
- Valadier, M. (1990). "Jeunes mesures". Méthodes d'analyse non convexe . Notes de cours en mathématiques . 1446 . Berlin: Springer. 152-188.
- Young, LC (1937), "Courbes généralisées et existence d'un minimum absolu atteint dans le calcul des variations" , Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie , Classe III, XXX (7–9): 211-234, JFM 63.1064.01 , Zbl 0019.21901 , mémoire présenté par Stanisław Saks lors de la session du 16 décembre 1937 de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie . La copie PDF gratuite est mise à disposition par le RCIN –Digital Repository of the Scientifics Institutes .
- Young, LC (1969), Lectures on the Calculus of Variations and Optimal Control , Philadelphie – Londres – Toronto: WB Saunders , pp. Xi + 331, MR 0259704 , Zbl 0177.37801 .
Liens externes
- "Jeune mesure" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]