Algèbre d'Abelian von Neumann - Abelian von Neumann algebra

En analyse fonctionnelle , une algèbre abélienne de von Neumann est une algèbre de von Neumann d'opérateurs sur un espace de Hilbert dans lequel tous les éléments commutent .

L'exemple prototypique d'une algèbre abélienne de von Neumann est l'algèbre L ^∞ ( X , μ) pour μ une mesure σ-finie sur X réalisée comme une algèbre d'opérateurs sur l'espace de Hilbert L ² ( X , μ) comme suit: Chaque f ∈ L ^∞ ( X , μ) est identifié par l'opérateur de multiplication

${\ displaystyle \ psi \ mapsto f \ psi.}$

Les algèbres abéliennes de von Neumann sur les espaces de Hilbert séparables sont d'une importance particulière, d'autant plus qu'elles sont complètement classifiables par des invariants simples.

Bien qu'il existe une théorie pour les algèbres de von Neumann sur les espaces de Hilbert non séparables (et une grande partie de la théorie générale est toujours valable dans ce cas), la théorie est considérablement plus simple pour les algèbres sur les espaces séparables et la plupart des applications à d'autres domaines des mathématiques ou de la physique uniquement utiliser des espaces de Hilbert séparables. Notez que si les espaces de mesure ( X , μ) est un espace de mesure standard (c'est-à-dire que X - N est un espace de Borel standard pour un ensemble nul N et μ est une mesure σ-finie) alors L ² ( X , μ) est séparable.

Classification

La relation entre les algèbres de von Neumann commutatives et les espaces de mesure est analogue à celle entre les algèbres commutatives C * et les espaces de Hausdorff localement compacts . Toute algèbre de von Neumann commutative sur un espace de Hilbert séparable est isomorphe à L ^∞ ( X ) pour un espace de mesure standard ( X , μ) et inversement, pour chaque espace de mesure standard X , L ^∞ ( X ) est une algèbre de von Neumann. Cet isomorphisme comme indiqué est un isomorphisme algébrique. En fait, nous pouvons le dire plus précisément comme suit:

Théorème . Toute algèbre abélienne de von Neumann d'opérateurs sur un espace de Hilbert séparable est * -isomorphe à exactement l'un des suivants

• ${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ {1,2, \ ldots, n \}), \ quad n \ geq 1}$
• ${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$
• ${\ displaystyle L ^ {\ infty} ([0,1])}$
• ${\ displaystyle L ^ {\ infty} ([0,1] \ cup \ {1,2, \ ldots, n \}), \ quad n \ geq 1}$
• ${\ displaystyle L ^ {\ infty} ([0,1] \ cup \ mathbf {N}).}$

L'isomorphisme peut être choisi pour conserver la topologie d'opérateur faible.

Dans la liste ci-dessus, l'intervalle [0,1] a une mesure de Lebesgue et les ensembles {1, 2, ..., n } et N ont une mesure de comptage. Les syndicats sont des syndicats disjoints. Cette classification est essentiellement une variante du théorème de classification de Maharam pour les algèbres de mesure séparables. La version du théorème de classification de Maharam qui est la plus utile implique une réalisation ponctuelle de l'équivalence, et est en quelque sorte un théorème populaire .

Bien que chaque espace de mesure standard soit isomorphe à l'un des ci-dessus et que la liste soit exhaustive en ce sens, il existe un choix plus canonique pour l'espace de mesure dans le cas des algèbres abéliennes de von Neumann A : L'ensemble de tous les projecteurs est un -complet Algèbre booléenne, c'est-à-dire une algèbre sans point. Dans le cas particulier, on récupère l' algèbre abstraite . Cette approche sans points peut être transformée en un théorème de dualité analogue à la dualité de Gelfand entre la catégorie des algèbres abéliennes de von Neumann et la catégorie des algèbres abstraites . ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle A = L ^ {\ infty} (X, {\ mathfrak {A}}, \ mu)}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} / \ {A \ mid \ mu (A) = 0 \}}$${\ displaystyle \ sigma}$

Soit μ et ν des mesures de probabilité non atomiques sur les espaces de Borel standard X et Y respectivement. Alors il y a un μ sous-ensemble nul N de X , un ν nul sous-ensemble M de Y et un isomorphisme de Borel

${\ displaystyle \ phi: X \ setminus N \ rightarrow Y \ setminus M, \ quad}$

qui porte μ dans ν.

Notez que dans le résultat ci-dessus, il est nécessaire de découper des ensembles de mesures zéro pour que le résultat fonctionne.

Dans le théorème ci-dessus, l'isomorphisme est nécessaire pour préserver la topologie d'opérateur faible. Comme il s'avère (et découle facilement des définitions), pour les algèbres L ^∞ ( X , μ), les topologies suivantes s'accordent sur les ensembles bornés de normes:

1. La topologie d'opérateur faible sur L ^∞ ( X , μ);
2. La topologie d'opérateur ultra-faible sur L ^∞ ( X , μ);
3. La topologie de la convergence faible * sur L ^∞ ( X , μ) considérée comme l'espace dual de L ¹ ( X , μ).

Cependant, pour une algèbre abélienne de von Neumann A, la réalisation de A comme algèbre d'opérateurs sur un espace de Hilbert séparable est hautement non unique. La classification complète des réalisations d'algèbre d'opérateurs de A est donnée par la théorie de la multiplicité spectrale et nécessite l'utilisation d' intégrales directes .

Isomorphisme spatial

En utilisant la théorie des intégrales directes, on peut montrer que les algèbres abéliennes de von Neumann de forme L ^∞ ( X , μ) agissant comme opérateurs sur L ² ( X , μ) sont toutes des abéliennes maximales. Cela signifie qu'ils ne peuvent pas être étendus à des algèbres abéliennes proprement plus grandes. Ils sont également appelés algèbres auto-adjointe abéliennes maximales (ou MASA). Une autre expression utilisée pour les décrire est les algèbres abéliennes de von Neumann de multiplicité uniforme 1 ; cette description n'a de sens que par rapport à la théorie de la multiplicité décrite ci-dessous.

Les algèbres de Von Neumann A sur H , B sur K sont spatialement isomorphes (ou unitairement isomorphes ) si et seulement s'il existe un opérateur unitaire U : H → K tel que

${\ displaystyle UAU ^ {*} = B.}$

En particulier, les algèbres de von Neumann spatialement isomorphes sont algébriquement isomorphes.

Décrire le plus commutatif général algèbre de von Neumann sur un espace de Hilbert séparable H jusqu'à isomorphisme spatiale, il faut se référer la décomposition intégrale directe de H . Les détails de cette décomposition sont discutés dans la décomposition des algèbres abéliennes de von Neumann . En particulier:

Théorème Toute algèbre abélienne de von Neumann sur un espace de Hilbert séparable H est spatialement isomorphe à L ^∞ ( X , μ) agissant sur

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H (x) \, d \ mu (x)}$

pour une famille mesurable des espaces de Hilbert { H _x } _{x ∈ X} .

Notez que pour les algèbres abéliennes de von Neumann agissant sur de tels espaces intégraux directs, l'équivalence de la topologie d'opérateur faible, de la topologie ultra-faible et de la topologie faible * sur les ensembles bornés normaux est toujours valable.

Réalisation ponctuelle et spatiale d'automorphismes

De nombreux problèmes de théorie ergodique se réduisent à des problèmes d'automorphismes des algèbres abéliennes de von Neumann. À cet égard, les résultats suivants sont utiles:

Théorème . Supposons que μ, ν sont des mesures standard sur X , Y respectivement. Puis tout isomorphisme involutif

${\ displaystyle \ Phi: L ^ {\ infty} (X, \ mu) \ rightarrow L ^ {\ infty} (Y, \ nu)}$

qui est faible * - bicontinue correspond à une transformation ponctuelle au sens suivant: Il existe des sous-ensembles nuls de Borel M de X et N de Y et un isomorphisme de Borel

${\ displaystyle \ eta: X \ setminus M \ rightarrow Y \ setminus N}$

tel que

1. η porte la mesure μ dans une mesure μ 'sur Y qui équivaut à ν dans le sens où μ' et ν ont les mêmes ensembles de mesure zéro;
2. η réalise la transformation Φ, c'est-à-dire

${\ displaystyle \ Phi (f) = f \ circ \ eta ^ {- 1}.}$

Notez qu'en général on ne peut pas s'attendre à ce que η porte μ dans ν.

Le résultat suivant concerne les transformations unitaires qui induisent un faible isomorphisme * -bicontinu entre les algèbres abéliennes de von Neumann.

Théorème . Supposons que μ, ν sont des mesures standard sur X , Y et

${\ displaystyle H = \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x), \ quad K = \ int _ {Y} ^ {\ oplus} K_ {y} d \ nu ( y)}$

pour les familles mesurables d'espaces de Hilbert { H _x } _{x ∈ X} , { K _y } _{y ∈ Y} . Si U  : H → K est un unitaire tel que

${\ displaystyle U \, L ^ {\ infty} (X, \ mu) \, U ^ {*} = L ^ {\ infty} (Y, \ nu)}$

alors il y a une transformation ponctuelle de Borel définie presque partout η: X → Y comme dans le théorème précédent et une famille mesurable { U _x } _{x ∈ X} d'opérateurs unitaires

${\ displaystyle U_ {x}: H_ {x} \ rightarrow K _ {\ eta (x)}}$

tel que

${\ displaystyle U {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ psi _ {x} d \ mu (x) {\ bigg)} = \ int _ {Y} ^ {\ oplus} { \ sqrt {{\ frac {d (\ mu \ circ \ eta ^ {- 1})} {d \ nu}} (y)}} \ U _ {\ eta ^ {- 1} (y)} {\ bigg (} \ psi _ {\ eta ^ {- 1} (y)} {\ bigg)} d \ nu (y),}$

où l'expression en racine carrée est le dérivé de Radon – Nikodym de μ η ⁻¹ par rapport à ν. L'énoncé suivant combine le théorème sur la réalisation ponctuelle des automorphismes énoncé ci-dessus avec le théorème caractérisant l'algèbre des opérateurs diagonalisables énoncée dans l'article sur les intégrales directes .

Remarques

Les références

• J. Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace Hilbertien , Gauthier-Villars, 1969. Voir chapitre I, section 6.
• Masamichi Takesaki Theory of Operator Algebras I, II, III ", encyclopédie des sciences mathématiques, Springer-Verlag, 2001–2003 (le premier volume a été publié en 1979 en 1. Edition) ISBN  3-540-42248-X